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scalaire associé a un vecteur propre complexe

Posté par
prdox
06-12-18 à 05:15

Bonjour !

J'ai un doute concernant les scalaires associés a une base de vecteurs propres du fait que je travaille sur le corps des nombres complexes.

Voici un exposé de mon problème :

J'ai une matrice carré de nombre complexe de dimension 4x4 que je note A.

A \in M_4(C)

j'ai trouvé que le polynome caractéristique de A était

Det(A-X*Id_4) = -X^3*(X-\lambda)
et que le polynome minimal était

P_{min}=X(X-\lambda)

donc on peut en déduire plusieurs choses
- 0 est valeur propre de multiplicité 3
- \lambda \neq 0 est valeur propre de multiplicité 1
- A est de rang 1
- Det A = 0
- A est diagonalisable

Je m'interresse à l'espace propre E_0(A) associé a la valeur propre 0, il est de dimension 3 et j'ai trouvé une base de E_0(A) composé de 3 vecteurs propres (u_1,u_2,u_3)

j'ai trouvé
 u_1 =\begin{pmatrix}1 \\ z_1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \quad u_2 =\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ z_2 \\ 0 \end{pmatrix} \quad u_2 =\begin{pmatrix}1 \\ 0 \\ 0 \\ z_3 \end{pmatrix}

avec z_1 ,z_2 ,z_3 des nombres complexes tels que z_1 \neq 0 , z_2 \neq 0 et  z_3 \neq 0
 \\

donc un vecteur \vec v \in E_0(A) peut s'écrire

\vec v = \mu_1*\vec u_1+\mu_2*\vec u_2+\mu_3*\vec u_3

avec \quad \mu_1,\mu_2 \quad et \quad  \mu_3 \quad des scalaires.

ma question concerne le corps des nombres \quad \mu_1,\mu_2 \quad et \quad  \mu_3 \quad est ce que ce sont des nombres réels ou complexes ??

Merci pour votre aide !

Posté par
prdox
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 06-12-18 à 05:32

excusez moi pour la faute de frappe il faut lire
\vec u_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ z_3 \end{pmatrix}

Posté par
luzak
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 06-12-18 à 08:09

Bonjour !
1. Il aurait été plus sage de nous donner la valeur de \lambda ! Est-ce un complexe non réel ? peut-il être nul ?
2. Si tu as le polynôme minimal X(X-\lambda),\;\lambda\neq0 la matrice n'est certainement pas de rang 1.
3. Si \lambda est non réel, ta matrice ne peut être interprétée que dans un espace complexe.
Par conséquent les scalaires exprimant le vecteur \vec v sont a priori des complexes.
Si tu ne prends que des scalaires réels tu ne peux trouver qu'une partie stricte de ton espace propre.

Posté par
luzak
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 06-12-18 à 15:41

En 2. je voulais dire le contraire : si \lambda\neq0 la matrice est de rang 1.

Posté par
jsvdb
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 06-12-18 à 15:52

Bonjour

prdox @ 06-12-2018 à 05:15

ma question concerne le corps des nombres \quad \mu_1,\mu_2 \text{ et }\mu_3 est ce que ce sont des nombres réels ou complexes ??

Y aurait-il un intérêt à travailler dans \mathcal M_4(\C) (et à fortiori n'importe quel de ses sous-espaces) en tant que \R-espace vectoriel ?

Posté par
jsvdb
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 06-12-18 à 15:56

J'imagine la loufoquerie d'avoir A = diag(i,i,i,i) et de ne pas pouvoir écrire A= iI_4 ...

Posté par
prdox
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 07-12-18 à 01:32

Bonjour !

luzak @ 06-12-2018 à 08:09


1. Il aurait été plus sage de nous donner la valeur de \lambda ! Est-ce un complexe non réel ? peut-il être nul ?


\lambda est réel non nul et même entier strictement positif.

luzak @ 06-12-2018 à 08:09


3. Si \lambda est non réel, ta matrice ne peut être interprétée que dans un espace complexe.
Par conséquent les scalaires exprimant le vecteur \vec v sont a priori des complexes.
Si tu ne prends que des scalaires réels tu ne peux trouver qu'une partie stricte de ton espace propre.


C'est  ce que je pensais \mu_1, \mu_2 et \mu_3 sont des complexes malheureusement cela complique mon affaire  est ce que le fait que la matrice soit complexe mais que les valeurs propres soient toutes réelles changent ca ?

merci pour votre aide

Posté par
prdox
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 07-12-18 à 01:34

jsvdb @ 06-12-2018 à 15:52

Bonjour
prdox @ 06-12-2018 à 05:15

ma question concerne le corps des nombres \quad \mu_1,\mu_2 \text{ et }\mu_3 est ce que ce sont des nombres réels ou complexes ??

Y aurait-il un intérêt à travailler dans \mathcal M_4(\C) (et à fortiori n'importe quel de ses sous-espaces) en tant que \R-espace vectoriel ?


En fait je cherche l'intersection de E_0(A) \bigcap{} R^4

Posté par
Poncargues
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 07-12-18 à 12:35

Citation :
Y aurait-il un intérêt à travailler dans \mathcal M_4(\C) (et à fortiori n'importe quel de ses sous-espaces) en tant que \R-espace vectoriel ?

Oui, il y a un assez grand intérêt à faire ça.

Posté par
jsvdb
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 07-12-18 à 16:15

Je sent que si je demande pourquoi je ne vais pas aimer la réponse

Posté par
Poncargues
re : scalaire associé a un vecteur propre complexe 07-12-18 à 16:30

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