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Niveau terminale
Scalaire dans l esapce ( a fait des questions deja)
Posté par juliendu5788
Bonjour, j'ai mon devoir de maths pour lundi, mais j'ai quelques difficultés, j'ai réussi quelques questions mais d'autre me posent problème, je met entre paranthèse mes commentaires ou mes résultats pour savoir si mes réponses sont juste ou si c'est dans cette voie que je dois m'engager pour réussir à répondre à la question.
L'énoncé :
On considère un cube ABCDEFGH, d'arrête de longueur a (a réél stricyement positif).
Soit I le point d'intersection de la droite (EC) et du plan (AFH).
1) Calculer, en fonction de a, les produits scalaire suivants :
EA.AF (j'ai -a^3)
AB.AF (j'ai a^3)
BC.AF (j'ai 0 ==> orthogonaux)
2) En dédduire que les vecteurs EC et AF sont orthogonaux. ( j'ai réussi c'est bon)
On admettra de même que les vecteurs EC et AH sont orthogonaux.
3) En déduire que le point I est le projeté orthogonal de E sur le plan (AFH).
(la je suis pas sur de moi, est ce que dire que de la question 2) que les vecteurs sont orthogonaux et donc que I est le projeté de E suffit ici? si non pouvait vous me dire comment faire ?)
4) a) Justifier les résultats suivants :
Les droites (AF) et (EH) sont orthogonalesn ainsi que les droites (AF) et (EI). (pour (AF) et (EH) j'ai trouvé mais pas (AF) et (EI) à cause de EI, pouvez vous m'aider ?)
b) En déduire que la droite (AF)est orthogonale à la droite (HI) (J'ai pas trouvé du tout là :$)
c) Etablir que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI) ( ici je n'ai pas cette question non plus)
5) Que représente le point I pour le triangle AFH ? ( à mon avis I représente le centre de gravité de triangle AFH ?)
Je sais que je n'ai pas fait bbeaucoup, mais je n'arrive pas vraiment à continuer... vous pouvez m'aidre un peu SVP
Merci d'avance
Julien
Bonjour
1)EA.AF = -a² ; AB.AF = a² ; BC.AF = 0
2)
*
Théorèmes à retenir
A)si une droite est orthogonale à 2 droites sécantes d'un plan alors elle est perpd. au plan et
B)si une droite est perpd. à un plan elle est orthogonale à toutes les droites de ce plan :
*
3)Il suffit de montrer que EC est perpd. au plan AFH
en effet 2) => EC orthogonale à AF
2) => EC .......... à AH ;AF et AH sécantes => EC perpd. AFH => I = projeté C de E sur AFH
4)a)EC orthogonale à AF cf2) mais la droite EC = la droite EI allons
b)AF orthogonale à EH et EI et( EH et EI sécantes) donc perpd. au plan EHI donc orthogonale à toute droite de EHI en particulier à HI
c)AH et EF sont orthogonales ; EI orthogonale à AH car EI perpd. AHF ; EF et EI sécantes donc AH perpd. au plan EIF donc AH orthogonale à IF
5)I n'est pas le centre de gravité mais l'orthocentre ( point de concours des hauteurs ) du triangle AFH
geo3
Merci pour votre aide, mais j'aurais besoin juste de m'éclaircir les idées sur la 1è question ...
le produit scalaire EA.AF et AB.AF
pour le premier le détail de mon calcul est
EA*AF*cos(EA,AF) et commme j'ai caalculé AF=a² alors le produit scalaire fait -a^3 alors si vous pouviez juste m'expliquer si en fait mon calcul est innutile ou bien si il faut prendre l'arrête du cube égale à a aussi ? car si tel est le cas je trouve les mêmes résultats, mais ma question est pourquoi si c'est cela? merci d'avance
Bonsoir
AF n'est pas égal à a² mais c'est AF² = a² + a² = 2a² (Pythagore)
l'arète du cube vaut a
*
AE.AF = AE.AE car le produit scalaire de 2 vecteurs = au produit scalaire de l'un d'eux(AE) par la projection (=AE) de l'autre(AF) sur lui(AE) ; EF est perpd. à AE ; donc AE.AF = a.a = a²
*
a³ est de dimension 3 ; ça n'est pas possible lorsqu'on multiplie 2 longueurs
*
par le cos c'est trop long ;
il faut chercher la longueur de AF = a.rac(2) et constater que l'angle EAF = 45°
et puis écrire que AE.AF = a.a.rac(2).cos(45°) = a²rac(2).rac(2)/2 = a²
geo3