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Niveau terminale
scalaire dans l'espace
Posté par frufru
Bonjour jai un exercice a faire sur les produits scalaires dans l'espace et je narrive pas à le resoudre pourriez vous maider sil vous plait merci
voici le sujet:
On donne les points A(3;2;-1) B (-6,1;1) C(4;-3;3) et D(-1;-5;-1).
Verifier quune equation cartésienne du plan (BCD) est: -2x-3y+4z-13 = 0 (cette equation jai reussi)
Déterminer les coordonnées du point H projete orthogonal du point A sur le plan (BCD).
Calculer le produit scalaire BH.CD = 0 (en vecteurs)
Le tétraèdre ABCD est il orthocentrique?
On définit les points I(1,0,0) J(0,1,0) et K(0,0,1). Le tétraèdre OIJK est il orthocentrique?
pour 'l'équation cartesienne du plan (ABC) jai fais la chose suivante:
j'ai remplacer x,y,z, par les coordonnées du point b, aprés c et d et j'ai trouver 0, ce qui vérifie l'équation. mais c apres que je bloque
Re-bonjour,
(voilà un titre plus explicite 
)
Si le point H appartient au plan (BCD), alors ses coordonnées H(x;y;z) vérifient -2x-3y+4z-13 = 0
Si le point H est le projeté de A sur (BCD) alors (AH) est perpenciculaire au plan (BCD), donc le vecteur AH est orthogonal aux vecteurs BC et BD.
En écrivant que les produits scalaires de AH par BC et BD sont nuls, cela te donnera 2 autres équations d'inconnues x, y et z.
Tu auras 3 équations à 3 inconnues ...
ou la, il faut donc que je calcule les coordonnées du vecteur AH et du vecteur BC et BD c'est ca? et apres je fais quoi? car jai pas très bien compris
Non, le produit scalaire :
AH est orthogonal à BC donc AH.BC=0
Soit U et V deux vecteurs de coordonnées U(x;y;z) V(x';y';z')
U et V sont orthogonaux <==> U.V = xx'+yy'+zz' = 0
daccord, donc japplique ce theoreme alors U et V sont orthogonaux <==> U.V = xx'+yy'+zz' = 0 et normalement ca dois faire 0 et donc apres je fais comment pour avoir les coordonnées de H?
et comment je prouve que Le tétraèdre ABCD est orthocentrique? pour la question d'après, pourriez vous me lexpliquer sil vous plait
donc ici comme on sait que:
AH (xH - 3, yH-2, zH+1)
BC (10, -4, 2)
et BD (5, -6, -2)
alors;
AH.BC = xH-3*(10) + (yH-2)*(-4) + (zH+1)*(2)
AH.BD = (xH-3)*(5)+(yH-2)*(-6) + (zH+1)*(-2)
et faut-il que je fasse je calcul le produit scalaire BC.BD aussi?
AH.BC=0 ===> cela te donnera une équation en x, y et z
AH.BD=0 ===> cela te donnera une autre équation en x, y et z
Avec l'équation du plan (BCD), tu as 3 équations à 3 inconnues ...
Tétraèdre orthocentrique est donc un tétraèdre qui a ses 4 hauteurs concourantes est dit orthocentrique. Le point de concours est alors l'orthocentre du tétraèdre.
donc il faut savoir si chaque hauteur du plan ABCD sont des hauteurs du tétrèdre considéré, et donc il faut calculer les produits scalaires et voir si cest égal a 0, c'est ca?
pourriez vous maider sil vous plait, je vous en remercie, votre aide depuis le debut ma ete benefique
ben les coordonnées du point H sont trouvés grace a la resolution du system suivant:
-2x-3y+4z-13=0
10x-4y+2z-20=0
5x-6y-2z-5=0
et jai trouvé que H(1,-1,3).
Soit (x;y;z) les coordonnées de H.
Le vecteur AH a pour coordonnées (x-3;y-2;z+1)
Le vecteur BC a pour coordonnées (10;-4;2)
Le vecteur BD a pour coordonnées (5;-6;-2)
Donc :
AH.BC = 10(x-3)-4(y-2)+2(z+1) = 10x-4y+2z-20
AH.BD = 5(x-3)-6(y-2)-2(z+1) = 5x-6y-2z-5
Pour trouver les coordonnées du point H, il faut donc résoudre le système suivant :
-2x-3y+4z-13 = 0
10x-4y+2z-20 = 0
5x-6y-2z-5 = 0
La solution de ce système est x=1 y=-1 z=-3
Donc le point H a pour coordonnées H(1;-1;-3)
Je vérifie le produit scalaire :
H(1;-1;-3) B(-6,1;1) C(4;-3;3) D(-1;-5;-1).
CD(-5;-2;-4) BH(7;-2;-4)
BH.CD = -5*7 + (-2)*(-2) + (-4)*(-4) = -35 + 4 + 16 = -15
Ca veut dire que (BH) et (CD) ne sont pas perpendiculaires
Tiens, regarde le dessin ici : 
Geométrie dans l espace
Ce n'est pas les mêmes notations que ton problème, mais ça permet de mieux comprendre.
Donc, d'après l'exercice que je t'ai demandé d'aller voir, si le tétraèdrre était orthocentrique, alors le point H, projeté de A sur (BCD), serait l'orthocentre de la face (BCD), donc sur la hauteur de (CD).
Or ce n'est pas le cas, car (BH) et (CD) ne sont pas perpendiculaires.
Donc le tétraèdre n'est pas orthocentrique.
Au fait, si je t'ai demandé s'il y avait une première partie, c'est parce que je suis tombé la dessus : Tétraèdre et géométrie dans l espace [Problème]
Oui, c'est tout simple ...
Le tétraèdre OIJK a 3 faces qui sont des triangles rectangles en O : OIJ ; OIK ; OJK
Dans un triangle rectangle, l'orthocentre se trouve sur l'angle droit.
L'orthocentre de ce tétraèdre est le point O.
par contre jaurai une question qui pourra vous paraitre bete, mais je prefere vous la poser, comment on fais pour placer les points dans un repere de lespace, car dans un repere (O,i,j) je sais faire, mais pas dans un repere (O,i,j,k) cest ce vecteur k qui me gene, ou faut il que je le place sur l'axe, pourriez vous me trouver une figure sil vous plait merci pour votre aide
ben jai quan meme du mal a l comprendre, car cest pas tres clair le schema fais, cest pas grave je vais demander merci pour tout
Je ne comprends pas ce qui t'embete ...
Essaie de mieux formuler ton problème si tu veux que j'y réponde ... à toi de voir
ben en faite ce que jessaye de vous dire, cest que je ne sais pas placer des points dans un repere orthonormal (O, i, j, k) a linverse que je sais les placer dans un repere (O, i, j) cest quand on a par exemple a placer
A(3;2;-1) ben je ne sais pas comment faire
mais je ne vois pas comment vous avez reporte le point y = 3 et k = 1 et si on aurait eu y = -2 et z = -1 on aurait eu quoi?
Si tu ne comprends pas ma figure, c'est que tu n'as pas une trés bonne vision dans l'espace je suppose ...
Je ne sais pas mieux t'expliquer 
Il faudrait que tu utilises un logiciel de géométrie dans l'espace, qui te permettrait de "tourner" autour de la figure ...
je vais essayer de me debrouiller, jai mis sur un autre topic un autre sujet de geometrie dans lespace que je ne comprend pas