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Scalaires [TS]

Posté par Pandem0nium (invité) 05-02-05 à 17:46

Bonjour, pourriez m'expliquer cet exercice s'il vous plait? Merci d'avance.
On considère 2 points distincts A et B du plan. Pour k, entier strictement positif, on cherche l'ensemble (C_k) des points M du plan vérifiant MA/MB=1 .

Etude quand k=1:
Déterminer l'ensemble (C_1).

MA/MB=1
<=>MA=MB
Ccl: (C_k) est la médiatrice du segment [AB].

Etude quand k n'est pas égal à 1:
Dans la suite, k est un entier strictement positif différent de 1. On fera la figure demandée en posant AB=6cm et en prenant k=2.

1. Démontrer que (C) est l'ensemble des points vérifiants:
(\vec{MA}+k\vec{MB}).(\vec{MA}-k\vec{MB})=0

Je remarque que c'est une identité remarquable (a+b)(a-b), mais je ne vois pas comment m'en sortir ici

2. On définit les points C et D par:
\vec{CA}+k\vec{CB}=\vec{0}  et  \vec{DA}-k\vec{DB}=\vec{0}

a/ Exprimer \vec{AC} en fonction de \vec{AB}. Placer le point C sur la figure.
b/ Exprimer \vec{AD} en fonction de \vec{AB}. Placer le point D sur la figure.

3. Vérifier que M est un point de (C_k) si et seulement si \vec{MC} et \vec{MD} sont orthogonaux. En déduire la nature précise de (C_k).

Merci de m'expliquer au moins comment commencer.

Posté par dolphie (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:03

POur k = 1. OK
Pour k 1
1. (\vec{MA}+k\vec{MB}).(\vec{MA}-k\vec{MB})=MA^2-k^2MB^2
Donc (\vec{MA}+k\vec{MB}).(\vec{MA}-k\vec{MB})= 0 équivaut à:
MA² = k²MB²
MA et MB étant des longueurs, donc positives, on a:
MA = kMB ou MA = -kMB

Posté par dolphie (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:06

excuses, j'avais mal lu, c'est dans l'autre sens....

Si \frac{MA}{MB}=k alors: MA = k.MB (k >0)
Soit encore: MA² = k².MB²
soit: MA²-k².MB² = 0
qui s'écrit:
(\vec{MA}-k\vec{MB}).(\vec{MA}+k\vec{MB})=0

Posté par dolphie (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:10

2.a)
\vec{CA}+k\vec{CB}=\vec{0}
On utilise la relation de Chasles en passant par A:
\vec{CA}+k(\vec{CA}+\vec{AB})=\vec{0}
(1+k)\vec{CA}+k\vec{AB}=\vec{0}
(1+k)\vec{AC}=k\vec{AB}
\vec{AC}= \frac{k}{1+k}\vec{AB}
De même:
en utilisant \vec{DA}-k\vec{DB}=\vec{0}, tu peux exprimer \vec{AD}= \frac{k}{k-1}\vec{AB}

Posté par Pandem0nium (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:12

Ahh en effet, c'était tout bête... mais fallait y penser ! Merci beaucoup pour cette question Dolphie !

Posté par dolphie (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:18

3. On a montre (question 1) que M est un point de Ck si et seulement si (\vec{MA}+k\vec{MB}).(\vec{MA}-k\vec{MB})=\vec{0}
Or \vec{MA}+k\vec{MB}=\vec{MC}+\vec{CA}+k\vec{MC}+k\vec{CB}=(1+k)\vec{MC}+\vec{CA}+k\vec{CB}.
et \vec{CA}+k\vec{CB}=\vec{0}
et \vec{MA}-k\vec{MB}=\vec{MD}+\vec{DA}-k\vec{MD}-k\vec{DB}=(1-k)\vec{MD}+\vec{DA}-k\vec{DB}.
et \vec{DA}-k\vec{DB}=\vec{0}

D'ou: (\vec{MA}+k\vec{MB}).(\vec{MA}-k\vec{MB})=(1+k)\vec{MC}.(1-k)\vec{MD}

Donc M appartient à Ck si et seulement si (1+k)(1-k)\vec{MC}.\vec{MD}=\vec{0}
k différent de 1, donc nécessairement:
\vec{MC}.\vec{MD}=\vec{0}

cad M appartient au cercle de diamètre [MD].

Posté par Dasson (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:25

Bonjour,

2
Pour info : les points C et D partagent (A;B) dans le rapport k.
Figure : AC = 4cm , AD=8, CA/CB=DA/DB=2
3
MA+kMB=MC+CA+k(MC+MD)=MC+kMC
MA-kMB=MD+DA-k(MD+DB)=MD-kMD
Donc
(MA+kMB)(MA-kMB)=(MC+kMC)(MD-kMD)=MC.MD(...)
=0 d'après le 1.
Cercle de diamètre [CD].

Posté par Dasson (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:27

Désolé, dolphie : je n'avais pas vu ta réponse

Posté par Pandem0nium (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:31

C'est gentil, merci à vous deux, j'ai bien compris !
Juste une chose, lorsque vous écrivez :

Donc M appartient à Ck si et seulement si ...
k différent de 1, donc nécessairement:
...

Vous avez bien divisé les deux membres par (1+k)(1-k) ?

Posté par dolphie (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:34

et bien (1+k)(1-k) 0 car k > 0 donc 1+k > 1 (donc non num) et k différent de 1 donc (1-k)0....
donc nécessairement \vec{MC}.\vec{MD}=\vec{0}

Posté par Pandem0nium (invité)re : Scalaires [TS] 05-02-05 à 18:37

Ok d'accord ! Merci


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