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Se affine
Bonjour,
Un exo me pose problème et cette fois je me suis relu 
.
Montrer que l'ensemble Y des fonctions f ∈ F(R, R) telles que f(x)+f(−x) = 1
pour tout x ∈ R est un sous-espace affine de F(R, R).
J'ai commencé par montrer que Y était non-vide en prenant f(0)=1/2,
Ensuite je veux montrer que pour tout f1 et f2 on a f2-f1 appartient à E (sev de F(R,R)), j'ai envie d'appeler E ensemble des fonctions nulles. Cela est-il juste?
Merci par avance!
salut
que veut dire
J'ai commencé par montrer que Y était non-vide en prenant f(0)=1/2
savoir que f(0) = 1/2 permet-il de savoir que f est une solution ?
espace affine ?
et si le sev associé était réduit à la fonction nulle, Y ne contiendrait qu'un élément !
salut
que veut dire
J'ai commencé par montrer que Y était non-vide en prenant f(0)=1/2
Si cela est juste il me reste plus qu'à montrer que pour tout A de Y et pour tout u de E A+u appartient à Y.
Montrer que l'ensemble des fonctions f∈F(R,R) telles que f(x)+f(−x) = 1pour tout x∈R est un sous-espace affine de F(R,R). (En donner un point et la direction.)
ok on a un point ...
maintenant en en posant f(x) = g(x) + 1/2
alors f(x) + f(-x) = 1 <=> ... ?
sinon on peut aussi remarquer que : f(x) + f(-x) = 1 <=> f(-x) - 1/2 = -[f(x) - 1/2] ...
Ah très bien ce serait les fonctions impaires , mais je t'utilises f2-f1 pour avoir le cas général, précédemment j'avais oublié un "-" c'est pour cela que je disais paire.
La direction est bien le sous-espace des fonctions impaires.
Une manière de faire est de considérer l'application linéaire qui à une fonction
associe la fonction
(la partie paire de
). L'ensemble
est l'ensemble des solutions de l'équation linéaire
(la fonction constante 1/2, qui est paire, et donc l'ensemble des solutions est non vide, il contient la fonction constante 1/2).
La direction du sous-espace affine des solutions est le noyau de , c'est bien le sous-espace des fonctions impaires.
(juste une petite remarque pour plusser ce que dit GBZM : cet espace affine est en fait l'ensemble des fonctions dont le graphe est symétrique par rapport au point (0;1/2).
oui oui !!! c'est pourquoi j'ai en fait "confusionner" entre fonctions impaires (la direction de l'espace affine) et l'ensemble en question : l'espace affine ...
"l'histoire" du noyau de GBZM m'a permis de comprendre mon erreur !!!
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