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second degré

Posté par
smir 10-10-22 à 18:27

Bonsoir à tous je cherche de l'aide pour cet exercice
Résoudre l'équation suivante:

(a+b)^{2}x^{2}-(a-b)^{3}x-2ab(a^{2}+b^{2})=0
j'ai distingué deux cas:
1er cas a+b=0 c'est à dire a=-b l'équation est du premier degré et la résolution ne pose aucun problème
2ème  cas a+b différent de 0  l'équation est du second degré
et j'ai ∆=(a-b)^{6}+8ab(a+b)^{2}(a^{2}+b^{2}) qui est positif
je ne sais pas est ce que je peux avoir une écriture plus simple de ∆ ou un carré parfait? Je ne vois pas

Posté par
carpediemre : second degré 10-10-22 à 18:37

salut

il y a tout de même un pb avec le signe de ab ?

Posté par
Glapion Moderateurre : second degré 10-10-22 à 18:39

Bonjour, non il n'y a pas d'écriture plus simple.
Si tu as montré que ∆ était toujours positif, tu peux donc écrire les solutions sous la forme classique.

Posté par
smirre : second degré 10-10-22 à 19:53

Bonsoir avec le signe de ab comment peut-on s'en sortir pour le signe de ∆

Posté par
carpediemre : second degré 10-10-22 à 19:59

alors mis à part l'étude du signe du discriminant je ne vois guère l'intérêt d'une telle équation s'il n'y a pas de simplification ...


(a - b)^6 + 8ab(a + b)^2(a^2 + b^2) = (a - b)^6 + 8ab(a + b)^2[(a + b)^2 - 2ab] = (a - b)^6 + 8ab(a + b)^4 - 16a^2b^2 (a + b)^2

tiens j'y vois une différence de deux carrés ...


(a - b)^6 + 8ab(a + b)^2(a^2 + b^2) = (a - b)^6 + 8ab(a + b)^2[(a - b)^2 + 2ab] = (a - b)^6 + 8ab(a + b)^2(a - b)^2 + 16a^2b^2 (a + b)^2

ouf maintenant j'y vois une somme de trois carrés !!




damned !! ha ben non il reste toujours ce produit ab !!

Posté par
carpediemre : second degré 10-10-22 à 20:00

si ab > 0 ... no problemo ...

mais si ab < 0 ... que passa ?

Posté par
smirre : second degré 10-10-22 à 20:31

si ab < 0 vraiment je ne vois pas de piste

Posté par
carpediemre : second degré 10-10-22 à 20:44

si ab < 0 alors ton discriminant est une différence de deux carrés ... qui peut éventuellement s'annuler voire même devenir négatif ...

mais pour l'instant je ne vois rien de plus

Posté par
Glapion Moderateurre : second degré 10-10-22 à 23:04

En fait il est bien toujours positif ou nul ce discriminant, mais c'est vrai que c'est dur à démontrer (on le voit en étudiant la fonction à deux variables).
on devrait arriver à le mettre sous une forme somme de choses positives mais je n'ai pas trouvé.

bizarre cet exercice !

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : second degré 11-10-22 à 00:28

Bonsoir


si mes calculs sont bons je trouve :


\Large\boxed{\Delta=(a+b)^2(a^4+b^4-a^2b^2)+a^2b^2(31a^2+31b^2-2ab)}


ce qui confirme que \Large\blue\boxed{\Delta>0}

Posté par
carpediemre : second degré 11-10-22 à 17:55

\Delta = (a - b)^6 + 8ab(a + b)^2(a^2 + b^2) = (a - b)^6 + 8ab(a + b)^2[(a - b)^2 + 2ab] = (a - b)^6 + 8ab(a + b)^2(a - b)^2 + 16a^2b^2 (a + b)^2 =

[4ab(a + b) + (a + b)(a - b)^2]^2 + (a -b)^6 - (a + b)^2(a - b)^4 = (a + b)^2[4ab + (a - b)^2]^2 + (a - b)^4 [(a - b)^2 - (a + b)^2] =

(a + b)^6 - 4ab (a - b)^4

avec a et b non simultanément nuls bien sûr :

si ab 0 (a et b n'ont pas même signe) alors ce discriminant est strictement positif

si ab 0 (a et b sont de signes contraires) l'expression initial du discriminant montre qu'il est aussi strictement positif


et ça c'est mon idée

mais à elhor_abdelali parce qu'il faut aller la chercher cette expression !!

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : second degré 12-10-22 à 00:36

Bravo carpediem !

Posté par
carpediemre : second degré 12-10-22 à 11:12

merci elhor

lire bien sûr :

Citation :
si ab 0 (a et b ont même signe) ...


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