I/

Si m = -2
On a: 2mx = 2m + 3
-4x = -1
x = 1/4  
donc une seule solution.

Si m <> -2

le discriminant de (m + 2 ) x² - 2mx +2m +3 =0 est:

m² - (2m+3)(m+2) = m² - (2m²+7m+6) = -m² - 7m - 6 = -(m+1)(m+6)

Si m = -1 ou m = -6, il y a une seule solution réelle (double)
Si m est dans ]-oo ; -6[ U ]-1 ; oo[ il n'y a pas de solutions
réelles.
Si m est dans ]-6 ; -2[ U ]-2 ; -1[, il y a 2 solutions réelles distinctes.
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II/
Je suppose que c'est les coordonnées des points de rencontre de
P et de D que tu veux.

Résoudre le système:

y = x²-1  
y = (1/2)x +1  

x²-1 = (1/2)x +1  
2x² - 2 = x + 2
2x² - x - 4 = 0

x = [1 +/- V(1 + 32)]/4
x = [1 +/- V(33)]/4  conviennent.

x = [1 - V(33)]/4 -> y = [1 - V(33)]/8  + 1 = [9 - V(33)]/8
x = [1 + V(33)]/4 -> y = [1 + V(33)]/8  + 1 = [9 + V(33)]/8

Les points cherchés ont pour coordonnées: ( (1 - V(33))/4 ; (9 - V(33))/8
) et ( (1 + V(33))/4 ; (9 + V(33))/8 )
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Pour la position relative des 2 courbes, étudier le signe de: x²-1 - (1/2)x
-1

On a:
x²-1 - (1/2)x -1 > 0 pour x dans ]-oo ; (1 - V(33))/4[ U ][1 + V(33)]/4
; oo[ -> P est au dessus de D.
x²-1 - (1/2)x -1 = 0 pour x = [1 - V(33)]/4 et pour [1 + V(33)]/4 -> P
et D coïncident.
x²-1 - (1/2)x -1 < 0 pour x dans ](1 - V(33))/4 ; (1 + V(33)]/4[ -> P
est en dessous de D.
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Sauf distraction.