salut

je ne comprends pas trop  

si tu travailles sur les ensembles de polynomes avec leur structure vectorielle alors P est un élément de dont "la base canonique" est le triplet puisque cet espace vectoriel est de dimension 3

Non, c'est la base ((1,0),(0,1))  de R^2.
La courbe reste la même et il faut trouver une base dans laquelle l'équation de cette parabole est y=x^2

A quelle condition un trinôme du second degré a-t-il une racine double ?

Si le discriminant est nul mais je ne vois pas comment exploiter ça

Bonjour
un fichier d'un ancien programme qui peut donner des idées...
Exemples de fonction carré

alors si c'est bien le pb posé et pour aller dans le sens de mes collègues, il me semble qu'on est pas loin de chercher la forme canonique de ce trinôme et en tout cas c'est dans la même idée ...

cependant signifie que est multiple de x donc que

donc tout simplement que et la base est vite trouvée : c'est (u, v) = (b, 0) et (u', v') = (0, a)

Bonjour,

moi aussi je continue à penser que je ne comprends pas cet énoncé

Vous avez oublié la réduction de quadriques en diagonalisant des matrices ? Ben là c'est pareil avec une conique, c'est ça qu'il cherche je pense.

Dans le repère (et pas la base) (O,I,J) = ((0,0), (1,0), (0,1)), on trace la courbe représentative de la fonction x -> ax² + bx + c, qui est une parabole convexe si a > 0 et concave si a < 0 ; ou une fonction affine si a = 0. Je pense que ce dernier cas est exclus de cet exercice.

Je pense que Klivi veut savoir s'il existe un changement de repère dans lequel la même courbe est représentative de la fonction x -> x².

De façon évidente, il n'est pas question d'effectuer de rotation et les changements autorisés ne sont que des translations et des dialatations.

Maintenant pour répondre à la question, si a > 0, si on pose y = sqrt(a)x, alors ax²+bx+c = y² + b/sqrt(a)y + c ne peut se ramener à une translation que s'il existe y0 tel que pour tout y, y² + b/sqrt(a)y + c = (y-y0)² = y² + 2y0.y + y0².

Par identification des coefficients, ça veut dire que 2y0 = b/sqrt(a) et y0² = c.
En réinjectant la première expression dans la deuxième, la condition devient b²/(4a) = c, c'est-à-dire encore b²-4ac = 0. Ca rejoint ce que je disais. Ce n'est possible que si le discriminant du trinôme est nul.
Dans ce cas (et si a > 0) on pose y0 = b/(2sqrt(a)) = sqrt(c) et on se met dans le repère (O', I, J') = ((-y0,0), (1,0), (sqrt(a),0)) et la courbe est alors bien la parabole usuelle qui représente la fonction carré.


Si a < 0, il n'y a aucune chance que ça arrive puisque la fonction carré est convexe alors que la courbe représentative du trinôme est concave.  Par contre on peut faire la même chose que précédemment mais avec x -> -x² à la place de la fonction carré.

Je corrige une coquille sans incidence sur le reste : il y a un signe moins qui est malencontreusement devenu un plus dans mon développement de (y-y0)².
Cela ne change que le signe de y0, ce n'est pas très grave

Et qu'est-ce qui empêcherait de prendre un repère de ce type pour retomber sur une forme du type ?

En fait, l'adjectif convexe ne s'attribue pas à une courbe mais à une fonction.
Une parabole n'est ni convexe ni concave.

Tu as raison on peut faire une rotation avant de translater pour passer du cas concave au cas convexe.

Enfin, une parabole à épigraphe convexe