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second degré lol

Posté par ddavid (invité) 19-07-05 à 00:04

Résoudre le système

x² + y² = 65
(x - 1)(y - 1) = 18


Merci

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:07

Re

Dans la première ligne tu isoles x ce qui te donnes :

x=\sqrt{65-y^2}

Tu remplaces dans la deuxième, tu réduis et tu calcule y, puis tu reportes commodément cette valeur dans une des deux lignes qui composent le système pour conclure sur la valeur de x

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:11

J'ai dit des bétises

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:16

J'obtiens un polynome du 4ème degrès c'est étrange :

y^4-2y^3+2y^2-34y+233 = 0

Utilise la méthode de Ferrari si tu la connais, je sèche un peu sinon ...

On peut nous aider lol ?

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 00:17

Bonjour

Ce n'est pas trés facilment résolvable.

Je propose de poser 3$\rm X=x-1 et 3$\rm Y=y-1

Le systéme devient alors :
3$\rm \{{X^{2}+2X+1+Y^{2}+2Y+1=65\\XY=18
soit
3$\rm \{{X^{2}+2X+Y^{2}+2Y=63\\X=\frac{18}{Y}

En substituant :
3$\rm \{{\frac{324}{Y^{2}}+\frac{36}{Y}+Y^{2}+2Y=63\\X=\frac{18}{Y}

En mettant au même dénominateur on tire de la premiére ligne :
3$\rm Y^{4}+2Y^{3}-63Y^{2}+36Y+324=0

Il s'agit à présent de résoudre cette équation, j'y réfléchis (on peut passer par la méthode de Ferrari mais cela m'etonnerais que tu l'aies vu)


Jord

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:20

Encore à côté de la plaque

J'aurais du prendre une crayon, j'ai du me tromper dans les calculs, enfin bref merci Jord d'être intervenu. Comment fait-on pour passer outre la méthode de Ferrari ? Je ne la connais pas vraiment ... j'ai survolé le contenu

Merci
Kevin

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 00:32

Non en fait beaucoup plus simple que Ferrari.

3 est une racine évidente.

On peut écrire :
3$\rm \begin{tabular}Y^{4}+2Y^{3}-63Y^{2}+36Y+324&=&Y^{3}\(Y-3\)+5Y^{3}-63Y^{2}+36Y+324\\&=&Y^{3}\(Y-3\)+5Y^{2}\(Y-3\)-48Y^{2}+36Y+324\\&=&(Y-3)(Y^{3}+5Y^{2})-48Y(Y-3)-108Y+324\\&=&(Y^{3}+5Y^{2}-48Y)(Y-3)-108(Y-3)\\&=&(Y-3)(Y^{3}+5Y^{2}-48Y-108)\end{tabular}

-2 est une racine évidente de 2$\rm Y^{3}+5Y^{2}-48Y-108
On factorise avec le même procédé puis au final on trouve :
3$\rm Y^{4}+2Y^{3}-63Y^{2}+36Y+324=(Y+9)(Y+2)(Y-3)(Y-6)


  • Si 3$\rm Y=-9 alors 3$\rm X=-2 soit : 3$\rm \fbox{(x,y)=(-1,-8)}

  • Si 3$\rm Y=-2 alors 3$\rm X=-9 soit : 3$\rm \fbox{(x,y)=(-8,-1)}

  • Si 3$\rm Y=3 alors 3$\rm X=6 soit : 3$\rm \fbox{(x,y)=(7,4)}

  • Si 3$\rm Y=6 alors 3$\rm X=3 soit 3$\rm \fbox{(x,y)=(4,7)}




Jord

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:33

Jord tu es chaud pour résoudre l'équation à la Ferrari ?

Il est tard je sais

Kevin

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:34

Ah oui j'y est pas pensé aux racines !

Bien joué

Kevin


Après Cardan, il faudra un jour que tu fasses la démo de Ferrari ; non je plaisante...

Posté par
H_aldnoerre : second degré lol 19-07-05 à 00:39

"Après Cardan, il faudra un jour que tu fasses la démo de Ferrari ; non je plaisante..."

et pourquoi pas ?

en tout cas moi je suis preneur

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:42

Ah oui tu parles en toute connaissance de cause

Pour l'instant tu peux aller voir ce lien H_aldno :



C'est pas très compliqué (un peu plus que Cardan), mais il ne faut pas se tromper entre temps

Kevin

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 00:44

Sinon il y la méthode de Descartes qui n'est pas mal


Jord

Posté par
H_aldnoerre : second degré lol 19-07-05 à 00:44

merci pour le lien

Posté par
H_aldnoerre : second degré lol 19-07-05 à 00:45

"Sinon il y la méthode de Descartes qui n'est pas mal "

a celle la par contre j'en ai jamais entendu parler

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 00:47

C'est une méthode de coefficient indeterminée.

elle consiste à trouver a, b, c et d tels que :
3$\rm x^{4}+px^{2}+qx+r=(x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)

L'indentification nous améne alors à résoudre une équation du troisiéme degré résolvable avec Cardan


Jord

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:48

Google n'a pas été fructueux cette fois, as-tu un lien Jord ?

Posté par
H_aldnoerre : second degré lol 19-07-05 à 00:49

il manque pas un 3$ \rm x^3 par hasard ?
ou alors j'ai pas sais

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:50

On pose un changement de variable pour virer le x^3 je crois mais sans conviction :S

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 00:52

Non désolé je n'ai pas de lien infophile, mais ce que j'ai dit résume assez bien la méthode

Non H_aldnoer, de toute façon on peut passer de ax4+bx3+cx2+dx+e à un polynôme sans terme au cube avec le changement de variable \rm X=x-\frac{b}{4a}


Jord

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 00:55

Oui j'en doute pas mais pour un novice comme moi c'est pas suffisant

Ce n'est pas grave je vais me renseigner à propos de cette méthode, si un jour tu t'ennuies, tu sauras que H_aldno et moi sommes preneur si tu fais une démo

Bonne soirée à vous
Kevin

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 00:56

Essayes de le faire toi même , ce n'est pas dur , si tu connais cardan, tu y arriveras


Jord

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 01:03

Ok j'essayerais, mais si ce n'est pas trop long, tu aurais un petit exemple juste pour voir comment tu procède par identification ?

Kevin

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 01:04

Ah non c'est bon je vois comment je vais m'y prendre .

J'essaye ça demain !

Bonne nuit et merci

Kevin

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 01:05

L'identification ?

C'est ce qui te dit que si par exemple a , b et c sont tels que :
3$\rm x^{2}+2x+3=ax^{2}+bx+c
alors :
3$\rm \{{a=1\\b=2\\c=1


Jord

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 01:06

Merci, bonne nuit toi aussi


Jord

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 01:10

Je me suis peut-être trompé, j'ai fait ça :

x^4+px^2+qx+r=(x^2+ax+b)'x^2+cx+d) \\ x^2+px^2+qx+r = x^4 + cx^3 + dx^2 + ax^3 + acx^2 + adx + bx^2 + bcx^2 + bd \\ x^3(-a-c)+x^2(p-d-ac-b-bc)+x(q-ad)+r-bd=0

J'ai du faire n'importe quoi car ça nous avance à rien ...

Finalement une petite explication n'est pas de refu

Posté par
Nightmarere : second degré lol 19-07-05 à 01:43

Bon alors à 1h30 cela risque d'être un peu dur mais je me lance.

on a :
3$\rm (x^{2}+ax+b)(x^{2}+cx+d)=x^{4}+(a+c)x^{3}+(b+d+ac)x^{2}+(ad+bc)x+bd

Ainsi :
3$\rm x^{4}+(a+c)x^{3}+(b+d+ac)x^{2}+(ad+bc)x+bd=x^{4}+px^{2}+qx+r

Par identification a, b, c et d doivent vérifier :
3$\rm \{{a+c=0\\b+d+ac=p\\ad+bc=q\\bd=r

Il ne reste plus qu'a résoudre ce systéme (la partie la plus dure )


Jord

Posté par Dasson (invité)re : second degré lol 19-07-05 à 03:21

Bonjour,

Le sytème étant symétrique en x et y, on peut calculer s et p.
s²-2p=65 et p-s=17
p=s+17 et s²-2s-99=0
s=11 et p=29 ou s=-9 et p=8
x et y solutions de z²-11z+28=0 ou x et y solutions de z²+9z+8=0
(7;4)  (4;7) (-8;-1)  (-1;-8)

Posté par philoux (invité)re : second degré lol 19-07-05 à 12:23

>Dasson 03:21

Le sytème étant symétrique en x et y, on peut calculer s et p.

Tu peux expliciter cette façon de faire, stp ?

s et p pour somme et produit ?

merci

Philoux

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 15:16

Je rejoins l'avis de philoux

Merci Jord pour l'explication

Posté par Dasson (invité)re : second degré lol 19-07-05 à 19:38

* symétrique : la question ne change pas si on permute x et y.
* Les nombres dont la somme est s et le produit p sont solutions de z²-sz+p=0

Posté par philoux (invité)re : second degré lol 19-07-05 à 19:50

Ok Dasson

C'était le chaînon intermédiaire qui était manquant :

x² + y² = 65
(x - 1)(y - 1) = 18

x²+y²=(x+y)²-2xy=S²-2P=65
(x-1)(y-1)=xy-x-y-1=xy-(x+y)-1=P-S-1=18

Maintenant tout est clair.

Méthode très astucieuse.

Merci

Philoux

Posté par philoux (invité)re : second degré lol 19-07-05 à 19:51

Oups

(x-1)(y-1)=xy-x-y+1=xy-(x+y)+1=P-S+1=18

Philoux

Posté par
infophilere : second degré lol 19-07-05 à 19:56

Ah oui je comprend mieux maintenant !

Merci à vous tous

Posté par Dasson (invité)re : second degré lol 19-07-05 à 23:14

En relisant, je vois que je n'ai pas répondu à la question de philoux 12.23.
Une expression "symétrique en x et y" peut toujours être écrite en fonction de s=x+y et p=xy.
Par exemple :
x²+y²=s²-2p
x^3+y^3=s^3-3ps
1/x+1/y=s/p
...

Posté par ddavid (invité)systeme symétriques 20-07-05 à 00:13

bonjour
résoudre le système

Merci

** image supprimée **

*** message déplacé ***

Posté par
infophilere : systeme symétriques 20-07-05 à 00:29

Ce système a deja été résolu ... dans ton topic en plus

Kevin


*** message déplacé ***

Posté par
Nightmarere : second degré lol 20-07-05 à 00:32

Merci de lire la faq

attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q03 - Pourquoi ne faut-il pas faire du ''multi-post'' ?

Posté par philoux (invité)re : second degré lol 20-07-05 à 08:37

Merci à Dasson 23:14

Une expression "symétrique en x et y" peut toujours être écrite en fonction de s=x+y et p=xy

Existe-t-il d'autres règles de ce type faisant intervenir, par exemple, x-y et/ou x/y (hormis celles déduites de la précédente consistant à poser y'=-y ou y'=1/y) ?

Merci

Philoux

Posté par
ottore : second degré lol 20-07-05 à 09:18

Philoux, tu as un théorème qui te dit que tout polynôme symétriques peut s'écrire à l'aide de polynômes symétriques "élémentaires".
Ici notre polynôme est de degré 2 (produit de facteur x et de facteur y de degré 1), donc on va faire apparaitre des facteurs du type
x² et y²
xy
x+y
cte
Notamment on voit que x² et y² n'interviendront probablement pas ce qui résoud le problème.

Maintenant pour ce qui est de y=1/y' ou y=-y' on le fait en effet dans certains cas, notamment lorsque l'on étudie des courbes dans le plan et que l'on recherche certaines symétries, ce qui est un problème analogue au notre.
A+

Posté par philoux (invité)re : second degré lol 20-07-05 à 09:24

Merci otto

Pour les études de coniques possédant des termes en xy, celà devrait simplifier ?

Je pense à des coniques inclinées (axes non  horizontal ou vertical)...

Philoux


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