bonjour,
dans le plan bien entendu
parce que dans l'espace voir tout récemment ici même intersection dans l'espace

mon idée : déterminer la tétracuspide de Joachimsthal mathcurve qui s'appuie sur les deux droites et passe par P
c'est à dire résoudre = 0 où est l'équation bien connue de la tétracuspide (selon Joachimsthal 1847) et l'inconnue est d.
ça donne bien une équation de degré 3 en d^2 (une équation "tricarrée" en d, de degré 6)

Bonjour,
Si les droites ne sont pas parallèles elles se coupent en un point I .
On trace la bissectrice de l'angle formé.
Par le point P  on trace une perpendiculaire à la bissectrice
qui coupe les deux droites en U et V.
Le segment UV me semble solution.
Cela me semble trop simple donc je sors....

@mathafou
La tétracuspide étant une enveloppe, il n'y pas de raison qu'elle passe par P. Si?

@dpi
Cette solution n'est valide que si P est sur la bissectrice. En général, elle n'est pas valide.
En particulier si P est sur une des droites alors le segment est perpendiculaire à l'autre droite.

J'ai trouvé une solution analytique, on obtient également une équation de degré 3.

On se met dans le système de coordonnées où l'intersection de AB et CD est l'origine et P = (0,1).



En posant u la pente de AB, v la pente de CD et p la pente de UV dans ce système de coordonnées, on calcule:



On a donc:



Cette distance s'annule quand p est infini. Le segment est vertical de longueur 0 et confondu avec l'origine.

Le minimum qui nous intéresse est la solution réelle de .

On voit que si les droites sont symétriques (P est sur la bissectrice), on a et le segment est perpendiculaire à la bissectrice.

Si u tend vers l'infini (P est sur la droite AB), on a et le segment est perpendiculaire à l'autre droite.

Note: Je ne trouve qu'une solution réelle à   mais je ne vois pas ce qui empêche qu'il n'y en ait 3.

dans la discussion reddit citée, il est déja dit que c'est (édit : ce que disait dpi, messages croisés) faux
mais bien essayé

pour info, lien vers l'article de Joachimsthal sur l'équation de "sa" tétracuspide

raisonnement général pour ces histoires de droites minimum :
pour chaque longueur d (aire, périmètre etc) la droite enveloppe une certaine courbe Cd
on considère l'ensemble de toutes ces courbes selon le paramètre d
la (les) droites de longueur d passant par un point P arbitraire donné sont les tangentes à la courbe Cd correspondant à cette valeur de d
d sera un extrêmum lorsque Cd passera par P et la droite cherchée la tangente en P à cette courbe Cd

ici d est ce qu'on cherche, c'est l'inconnue du problème
c'est à dire qu'on cherche laquelle des courbes Cd passe par P

Oui, je savais déjà que c'était faux, c'est moi bdaene sur reddit

Ah, oui. Je n'avais pas pensé que le segment minimum serai tangent en P à la tétracuspide.

pour les trois solutions , un cas où les trois existent :



pour P donné, par homothétie selon la valeur de d il existe une seule tétracuspide passant par P (une seule valeur de d minimale)
mais en général trois droites passant par P tangentes à la courbe donnant un segment de longueur d

Non, dans  ce cas les solutions 2 et 3 ne sont pas des extremums: On a un segment plus petit en se rapprochant de l'origine.

J'ai trouvé 3 solutions quand P est "à l'extérieur" des deux droites, que l'angle entre les droites est faible et que P est proche d'une des droite:



La solution "normale" correspond à P entre les droites, la seconde solution est effectivement un minimum, et la troisième solution est un maximum entre ce minimum et l'origine.

j'ai ici tracé la courbe distance UV en fonction de la position de U
courbe en pointillé, et sa restriction à la portion pour laquelle les points U et V sont dans les segments [AB] et [CD] en rouge plein.
on voit immédiatement que le minimum est 0 quand U, V et O sont confondus
et que ce qui nous intéresse sont des minimas locaux et qu'il n'y en a toujours qu'un seul quand P est dans l'angle aigu des deux droites. fig 1
la figure 2 montre les deux minimas locaux, dont l'un est clairement toujours plus grand



si on tient compte des restrictions aux segments, les solutions précédentes ne sont plus valables si le minimum "théorique" est en dehors.
la solution est alors sur une extrémité de segment fig 3,

Et même si le minimum théorique est "dedans", un minimum absolu non nul peut être une extrémité. fig 4

Ma courbe en vert est la distance au carré en fonction de la valeur de p.
Ta courbe en rouge est beaucoup plus visuelle. Elle garde les même coordonnées que les points de la figure

L'énoncé sur reddit mentionne que le segment passe par P. Si on prend ça littéralement alors P doit être entre U et V. Ce qui laisse une unique solution même si ce n'est pas le plus petit des minimum locaux.

Reste à sélectionner le bon p quand on a plusieurs solutions.  Je pense que c'est simplement (ou ).

avec la tétracuspide le procédé est le suivant
traçons une tetracuspide relative aux deux droites d1 et d2 données et une distance arbitraire
la demi-droite OP coupe la courbe en seul point, cas de P ou P'' en dehors de la zone verte définie par la pointe E de la courbe.
La question du choix ne se pose pas vu qu'il n'y a qu'une seule solution (une seule tétracuside homothétique passe par P)

Si P est dans la zone verte, il y a trois solution dont une seule M1 conduit à P entre U et V

envoi prématuré, la figure (et la relecture) pas insérée



et la fin du texte :
... définie par la courbe homothétique dans le rapport OP/OM1.

Bonjour,
J'ai vu la complexité de l'exercice mais si on relit l'énoncé initial qui demande le plus petit segment passant par P et joignant les deux droites.
Je garde mon approche "scolaire"

*Cas P à l'intérieur des deux droites:
En supposant que les droites non parallèles se coupent en dehors
de la figure, par un point X on abaisse  une perpendiculaire à CD  en Y et une perpendiculaire à  AB en coupant CD en Z puis on trace la bissectrice de YXZ puis sa perpendiculaire en X .
Du point P on trace une perpendiculaire à cette droite qui coupe AB en U et CD en V. le segment UV est la solution.
*Cas P à l'extérieur:
Même démarche.

il est impossible de résoudre une équation générale (les droites et P sont quelconques) de degré 3 à la règle et au compas
donc ta solution est fausse
c'est peut-être une (plus ou mois) bonne approximation

preuve en image :
la solution exacte en rouge d = 3
ta solution en bleu d' = 3.029 > 3
en vert la courbe distance en fonction de la position de U
montrant que ma position de U est bien le minimum



J'ai un peu triché pour obtenir une solution "sans calcul"
je suis parti d'un segment UV arbitraire, par exemple de longueur très exactement ce que je veux) et j'ai construit le point P pour que ce segment soit le minimum passant par ce point P là.
(facile avec l'étude précédemment faite : c'est la projection sur UV du sommet M du parallélogramme OUMV)

>mathafou
Je disais "scolaire"
D'après toi quel est le niveau de l'approximation la plus éloignée  avec une figure "idoine" ?

ta méthode est grossière dans le cas par exemple où P est sur l'une des droites
la plus courte distance est alors la perpendiculaire à l'autre et pas du tout la perpendiculaire à la bissectrice de l'angle (qui est ce que tu construis)
cette construction n'est valable que si P est sur cette bissectrice.

envoi prématuré de nouveau
suite donc
une construction approchée "scolaire" pourrait être :
tracer la perpendiculaire à la droite la plus éloignée de P
tracer la perpendiculaire à la bissectrice de l'angle des deux droites
"on sait" que la solution est "quelque part" entre ces deux extrêmes
au mieux, on peut pondérer dans le rapport (Thalès par exemple) entre les distances de P à la droite la plus proche et à la bissectrice.

figure suivra

figure promise :



UV est la vraie solution exacte (construite à rebours comme expliqué précédemment)
U'V' est la perpendiculaire (en I, milieu de U'V' ) à la bissectrice (construction dpi)
U1H est la perpendiculaire à l'autre droite
U''V'' cette meilleure approximation telle que U''U'/U''U1 = PI/PU'
on voit qu'on a amélioré la précision d'un facteur 100

Je suis parti sur une idée fausse...
Je fais la preuve de ma bêtise avec des valeurs faciles à calculer et au vu de vos solutions vous trouverez encore mieux

Bonsoir. Ce problème est d'une grande facilité théorique grâce à la géométrie analytique.
On se place dans un repère orthonormé. On a les équations des droites passant par AB et CD. On a l'équation de la droite passant par P en fonction de sa pente qui est l'inconnue. L'intersection de la droite passant par P avec les 2 droites données nous donne les coordonnées des 2 points (toujours en fonction de p) puis la distance entre ces 2 points en fonction de p. Il suffit d'annuler la dérivée de cette distance en fonction de p pour obtenir la distance min.