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sens de variation d'une fonction
bonjour.
j'ai effectué les exos jusqu'au 2a et j'aimerais vérifier si ma rédaction et mes réponses sont correctes. pour le 2b nous n'avons pas vu la notion en profondeur suite au bouleversement de la pandémie donc j'ai un peu de mal. 😞
merci de m'aider svp.
1) f est une fonction de R vers R définie par l'intervalle K.
a) démontrer que f est strictement croissante sur K si et seulement si, pour tout nombres réels distincts u et v de K, on a : f(v) - f(u) / v - u > 0
b) établir un résultat analogue pour une fonction strictement décroissante sur K.
2)on considère la fonction f définie sur [ -1; 1] par f(x) =-2x
2-2x+5.
a) quel est le sens de variation de f sur les intervalles [ -1; - 1/2] et [- 1/2 ; 1] ?
b) établir le tableau le tableau de variation de f. démontrer que f admet sur [ -1; 1] un maximum et un minimum dont on donnera les valeurs.
Bonjour,
je ne pourrais pas rester mais tu attends qu'on te donne des résultats pour comparer avec les tiens ?
le forum ne fonctionne pas comme ça.
c'est tu donnes tes résultats et nous on vérifie, (ou on te donne des pistes si tu es bloqué), pas le contraire.
j'en suis consciente,mathafou je voulais d'abord les finir sur papier avant de vous les soumettre
je les saisi actuellement...
1a) soit la f(v) - f(u)/ u-v > 0
f est croissant si u < v => f(u) <f (v)
on a : u < 0 et v> 0 => u<v
alors f(u) <f (v) donc la fonction f est croissant sur k
1b) soit la f(v) - f(u)/ u-v < 0
f est décroissante si u <v => f(u) >f (v)
on a :
u>0 et -v<0 => u > v
alors f(u) >f (v) donc la fonction f est croissant sur k
2a)
f( - 2v^2 - 2V +5 ) - (- 2u^2 - 2u +5) / v - u= -2(v+u) - 2
après factorisation.
ensuite en étudiant le signe de f j'ai abouti à :
f est croissante dans [-1; -1/2] et décroissante dans [-1/2; 1]
f est croissante si (et seulement si ) u < v => f(u) < f (v)
OK pour cette définition à condition de lui ajouter : quels que soient u et v (distincts) dans K
on a : u < 0 et v > 0 => u < v non
u et v sont de signes individuels quelconques
par contre u < v 
v-u > 0
et f(u) < f(v) f(v) - f(u) > 0
et on peut dire que si f est croissante alors par définition u < v => f(u) < f (v) donc d'après ce qu'on vient de dire v-u > 0 et f(v) - f(u) > 0 donc (f(v)- f(u)) / (v-u) > 0 (parenthèses obligatoires ) comme quotient de deux nombres > 0
je te laisse rédiger la réciproque, qui commence par :
si (f(v)- f(u)) / (v-u) > 0 alors f(v) - f(u) et v-u sont de même signe etc ...
1b : inutile de tout réécrire car il suffit de changer partout > par <
2a)
attention à l'écriture quand on écrit tout sur une seule ligne il faut ajouter des parenthèses obligatoires
et il n'y a pas de "f" quand on développe f : f(v) c'est -2v^2 - 2v +5
[f(v) - f(u)]/(v-u) = [( - 2v^2 - 2v +5 ) - (- 2u^2 - 2u +5)] / (v - u)
= -2(v+u) -2 OK
ensuite en étudiant le signe de f non
le signe de f n'a rien à faire là dedans
c'est le signe de -2(v+u) -2 qui compte et uniquement lui.
si u et v sont tous deux dans ]-1; -1/2] c'est à dire tous deux < -1/2 alors u+v < (-1/2) + (-1/2) = -1 et donc -2(u+v) > 2 (attention si u+v < -1 , -(u+v) > +1
etc
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