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Sens de variation de suites.

Posté par
matheux14
07-04-21 à 12:55

Bonjour ,

Merci d'avance.

Étudier le sens de variation des suites définies par :

1) \forall ~n~\in \N , u_{n}=n²+n-5 ;

2) u_{n}=1+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{3²}+\dots+\dfrac{1}{n²} pour n\ge 1 ;

3) U0= 3 et \forall ~n~\in \N , Un+1=Un-5.

Je bloque sur les deux dernières.

Posté par
carpediem
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 13:06

salut

et qu'as-tu dit pour la première ?

Posté par
carpediem
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 13:07

que peut-on faire pour étudier le sens de variation d'une suite ?

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 13:26

Pour la première , j'ai utilisé la technique fonctionnelle.

En posant un=f(n) , (un) a le même sens de variation que f sur [0 ; +∞[

Et je trouve f croissante sur [0 ; +∞[ ; c'est à dire (un) est croissante sur IN.

Posté par
carpediem
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 14:31

ok ...

carpediem @ 07-04-2021 à 13:07

que peut-on faire pour étudier le sens de variation d'une suite ?
cours ?

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 17:50

On peut  :

-Étudier le signe de un+1-un :

* Si pour tout n de l'ensemble de définition E de (un) , un+1 - un ≥ 0 alors (un) croissante ,

*Si pour tout n de l'ensemble de définition E de (un) , un+1 - un ≤ 0 alors (un) décroissante.

- Comparer le quotient un+1/un...

Ou par récurrence.

Posté par
carpediem
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 17:52

alors qu'attends-tu ?

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 18:02

Pour u_{n}=1+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{3²}+\dots+\dfrac{1}{n²}

u_{n+1}=1+\dfrac{1}{2³}+\dfrac{1}{3³}+\dots+\dfrac{1}{n³}

\dfrac{u_{n+1}}{u_{n}}=\dfrac{1+\dfrac{1}{2³}+\dfrac{1}{3³}+\dots+\dfrac{1}{n³}}{1+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{3²}+\dots+\dfrac{1}{n²}} \le 1

Mais je n'arrive pas à le montrer...

Posté par
carpediem
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 18:09



non seulement u_{n + 1}  est faux .... mais en plus tu utilises un quotient alors qu'il n'y a que des sommes ...

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 19:17

Comment est-ce que je devrais faire ?

Posté par
carpediem
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 19:49

1/ écrire proprement l'expression de u_{n + 1}

2/ regarder les expressions de u_n et u_{n + 1}

3/ décider quelle stratégie est la plus pertinente entre

matheux14 @ 07-04-2021 à 17:50

On peut  :

(1)  Étudier le signe de un+1-un :


(2)  Comparer le quotient un+1/un...

Ou par récurrence.

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 20:34

  u_{n}=1+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{3²}+\dots+\dfrac{1}{n²}

u_{n+1}=\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{3²}+\dfrac{1}{4²}+\dots+\dfrac{1}{(n+1)²}

u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{(n+1)²}-1=\dfrac{-n(n+2)}{n²+n+1} \le 0

u_{n+1}-u_{n} \le 0

Du coup (un) est décroissante.

Posté par
carpediem
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 20:37

u(n + 1) est toujours faux ...

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 20:46

  u_{n}=\dfrac{1}{1²}+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{3²}+\dots+\dfrac{1}{n²}

==>  u_{n+1}=\dfrac{1}{(1+1)²}+\dfrac{1}{(2+1)²}+\dfrac{1}{(3+1)²}+\dots+\dfrac{1}{(n+1)²}

Non ?

Posté par
PLSVU
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 22:26

c ' est toujours faux

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 22:37

u_{n+1}=1+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{3²}+\dots+\dfrac{1}{(n+1)²}

Posté par
PLSVU
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 22:44

ok pour cette réponse

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 22:53

Alors u_{n+1}-u_{n}=\dfrac{1}{(n+1)²} > 0

C'est à dire (un) est croissante.

Posté par
PLSVU
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 22:56

ok

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 23:05

Pour la que Un+1-Un= -5 et puis l'énoncé donne U0= 3.

Posté par
PLSVU
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 23:13

  énoncé  Un+1=Un -5
Un+1-Un= -5
  quelle est  ta conclusion ?

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 23:17

Un+1-Un= -5 < 0

Donc (Un) es décroissante.

Posté par
PLSVU
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 23:20

OK  

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 07-04-21 à 23:34

Mais je ne comprends pas pourquoi l'énoncé donne U0

Posté par
PLSVU
re : Sens de variation de suites. 08-04-21 à 08:19

  la première suite  définie
\forall ~n~\in \N , u_{n}=n²+n-5 ;
  Cette donnée te   permet de  déterminer  par exemple les     10 premiers termes de la suite
la seconde
2) u_{n}=1+\dfrac{1}{2²}+\dfrac{1}{3²}+\dots+\dfrac{1}{n²} pour n\ge 1
même remarque
la troisième
3) U0= 3 et \forall ~n~\in \N , Un+1=Un-5.

  A ton avis à quoi sert la donnée d ' un  terme,    dans ce cas le premier ?

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 08-04-21 à 09:57

Pour pouvoir déterminer les autres termes de la suite Un.

Posté par
PLSVU
re : Sens de variation de suites. 08-04-21 à 11:00

  OK   ces deux données définissent  la suite arithmétique de raison -5  et de premier terme 3

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 08-04-21 à 11:09

Ok.

Merci

Posté par
carpediem
re : Sens de variation de suites. 08-04-21 à 11:44

et bien il en a fallu du temps et des essais !!!

peut-être prendre le temps de réfléchir un peu plus avec un brouillon ...

Posté par
matheux14
re : Sens de variation de suites. 08-04-21 à 16:55

C'est ce que je fais.. mais je ne maîtrise pas bien les suites .



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