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Sens de variation suite

Posté par
HDZ
12-02-18 à 17:54

Bonjour à tous,

Je câle sur le sens de variation de la suite suivante Un = √(n+1)-√n

Intuitivement, je calcule U(n+1)-Un et j'ai :

U(n+1)-Un = √(n+2)-2√(n+1)+√n

Et là, je bloque. Je vois pas où aller.

Est-ce que quelqu'un pourrait m'aiguiller ?

Vous remerciant d'avance pour vos retours

Ju'

Posté par
Yzz
re : Sens de variation suite 12-02-18 à 18:10

Salut,

Une suite définie explicitement a mes mêmes variations que la fonction associée.
Il suffit donc d'étudier les variations de f(x) = √(x+1)-√x

Posté par
kenavo27
re : Sens de variation suite 12-02-18 à 18:15

bonsoir
comment sont les termes de la suite ?

Posté par
kenavo27
re : Sens de variation suite 12-02-18 à 18:21

salut  Yzz
en effet, ...fonction associée

Posté par
carpediem
re : Sens de variation suite 12-02-18 à 18:21

salut

u_{n + 1} - u_n = \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} - ( \sqrt {n + 1} - \sqrt n) = \dfrac 1 {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1}} - \dfrac 1 {\sqrt {n + 1} + \sqrt n}

or deux nombres positifs sont dans l'ordre inverse de leur inverse donc ...

Posté par
fm_31
re : Sens de variation suite 12-02-18 à 18:21

Bonjour ,

pourquoi ne commences-tu pas par évaluer  U0 , U1  , U2 , U3  , U4  , ...
tu verras vite comment ça évolue .
Ceci dit quand  n  devient très grand   (n+2) (n+1)n    donc  ....

Posté par
carpediem
re : Sens de variation suite 12-02-18 à 18:24

des équivalents n'ont aucun intéret ici ....

Posté par
kenavo27
re : Sens de variation suite 12-02-18 à 18:29

graphique

Sens de variation suite

Posté par
HDZ
re : Sens de variation suite 13-02-18 à 09:30

Merci à tous pour vos réponses.

Yzz @ 12-02-2018 à 18:10

Salut,

Une suite définie explicitement a mes mêmes variations que la fonction associée.
Il suffit donc d'étudier les variations de f(x) = √(x+1)-√x


Du coup, il faudrait que j'étudie le signe de sa dérivée ?

carpediem @ 12-02-2018 à 18:21

salut

u_{n + 1} - u_n = \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} - ( \sqrt {n + 1} - \sqrt n) = \dfrac 1 {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1}} - \dfrac 1 {\sqrt {n + 1} + \sqrt n}

or deux nombres positifs sont dans l'ordre inverse de leur inverse donc ...


Je n'ai pas bien compris ton approche carpediem. Tu peux reformuler s'il te plaît ?

fm_31 @ 12-02-2018 à 18:21

Bonjour ,

pourquoi ne commences-tu pas par évaluer  U0 , U1  , U2 , U3  , U4  , ...
tu verras vite comment ça évolue .
Ceci dit quand  n  devient très grand   (n+2) (n+1)n    donc  ....


Il est évident que la suite décroit. C'est juste que je n'arrive pas à le montrer pour tout n.

Posté par
fm_31
re : Sens de variation suite 13-02-18 à 10:58

Pour obtenir les inverses , il suffit de multiplier par l'expression conjuguée et de développer les numérateurs , ce qui donne 1 .

Posté par
Glapion Moderateur
re : Sens de variation suite 13-02-18 à 12:50

ou simplement Un = √(n+1)-√n = 1/(√(n+1)+√n ) (en multipliant haut et bas par la quantité conjuguée)

or √(n+1)+√n est croissant (puisque la fonction racine est croissante) donc l'inverse est décroissant.

Posté par
HDZ
re : Sens de variation suite 13-02-18 à 14:39

ça y est !

En passant par le conjugué, c'est flagrant et beaucoup plus simple. Merci à vous tous pour vos réponses !

Ju'

Posté par
carpediem
re : Sens de variation suite 13-02-18 à 18:32

c'est exactement ce que j'ai fait ... et dit en considérant la décroissance de la fonction inverse ...

Posté par
Glapion Moderateur
re : Sens de variation suite 13-02-18 à 18:52

pas tout à fait, tu as traité de cette façon un+1-un et du coup ça a rendu la démonstration plus difficile à comprendre.

Posté par
carpediem
re : Sens de variation suite 13-02-18 à 19:05

soyons sérieux !!!

carpediem @ 12-02-2018 à 18:21

salut

u_{n + 1} - u_n = \sqrt {n + 2} - \sqrt {n + 1} - ( \sqrt {n + 1} - \sqrt n) = \dfrac 1 {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1}} - \dfrac 1 {\sqrt {n + 1} + \sqrt n}

or deux nombres positifs sont dans l'ordre inverse de leur inverse donc ...


la ligne de calcul montre évidemment l'utilisation de la quantité conjuguée

il suffit ensuite de savoir parler et lire le français (nécessaire pour faire des mathématiques)

HDZ @ 12-02-2018 à 17:54

Intuitivement, je calcule U(n+1)-Un et j'ai :

U(n+1)-Un = √(n+2)-2√(n+1)+√n

Et là, je bloque. Je vois pas où aller.
j'ai simplement montré qu'on pouvait conclure en restant au collège avec sa méthode

il est évident que le passage à la quantité conjuguée sur le terme même donne immédiatement le résultat

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