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Sens de variations de x*exp(x)/(exp(x)+1)
Bonjour tout le monde !
A priori c'est simple, à la portée d'un élève de TS (enfin je crois), seulement voilà c'est bête mais je sèche !
On me demande d'étudier le sens de variation de la fonction f(x)=x*exp(x)/(exp(x)+1) pour x dans R.
Donc, confiante, sûre de moi, je dérive cette fonction:
f'(x)= exp(x)*(exp(x)+1+x)/(exp(x)+1)²
je me dis, exp(x)>0 et (exp(x)+1)²>0, donc f'(x) du signe de exp(x)+1+x.
Alors maintenant, question comment on étudie le signe de cette chose?
On peut toujours poser h(x)= exp(x)+1+x et étudier h(x),
je dérive donc h(x): h'(x)= exp(x)+1, qui est toujours >0, donc h(x) est croissante. Super!, à part que en - l'infinie h(x) tend vers - l'infinie, donc ça ne m'aide pas.
En passant par les log, horreur! j'arrive au log d'un nombre négatif et qui dépend de x...
Donc si quelqu'un pouvait me remettre sur le droit chemin ...
Merci d'avance à tous.
h est donc strictement croissante et la limite en -oo est -oo et en +oo, la limite est +oo donc d'après le théorème de valeurs intermédiaires, l'équation h(x)=0 admet une unique solution m.
Si x < m, h(x)<0 et si x>m, h(x) > 0.
Donc tu en déduis le signe de f'(x) donc les variations de f.
Tu ne pourras pas trouver la valeur exacte de m mais tu peux en trouver une valeur approchée ou un encadrement.
En espérant t'avoir remis sur le droit chemin...
Bonsoir natvollmer,
ta fonction h est un peu plus que croissante elle est strictement croissante donc définie une bijection de R sur R et donc il existe un réel unique xo tel que sur ]-oo;xo], h(x)<0 et sur [xo;+oo[ h(x)>0
On peut trouver xo par approximation.
Salut 
-1.27846454276. Merci à dad97 et Victor !
C'est vrai que je me suis cassé la tête à essayer de trouver la valeur exacte de m( ou x0) et que j'ai pas pensé à chercher une valeur approchée (Comme si la valeur exacte de m était vitale pour avoir les variations de f !).
Encore merci à tous les deux !
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