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Niveau Licence Maths 1e ann
Séquence de nombres premiers
Posté par Meiosis
Bonjour,
J'ai à nouveau une question, j'ai deux pistes mais je ne sais pas si j'ai bon, j'aimerais avoir votre avis sur la question.
---
Soit n un entier naturel tel que (k un entier naturel
).
On a où r est le reste de la division de
par
.
On calcule les restes successifs pour les différentes valeurs de n et on dresse une liste de nombres, voici les 25 premières valeurs de r :
{5,8,11,2,17,20,23,2,2,32,35,38,41,2,2,50,53,56,2,2,65,2,71,2,77}
Et on calcule la somme de deux r consécutifs, on commence avec 5+8=13, 8+11=19, on ne calcule pas 11+2 car on suppose r différent de 2. Ensuite on calcule 17+20=37, 20+23=43, 32+35=67, 35+38=73, 38+41=79, 50+53=103, 53+56=109 etc.
On remarque qu'on obtient uniquement des nombres premiers de la forme 6m+1 (m un entier naturel supérieur ou égal à 2).
La conjecture est : est-ce toujours le cas pour n très grand ?
---
Maintenant mes pistes de réflexion :
---
Je trouve que cela ressemble au théorème de Wilson mais je ne suis pas sûr, peut-être que c'est une reformulation du théorème de Wilson.
Autre piste : le théorème de Green Tao sur les progressions arithmétiques de nombres premiers.
---
J'espère que vous pourrez m'aider à y voir plus clair.
Merci à vous.
Je te propose une autre formulation :
Soit k un entier strictement positif.
Soit n=6k-1
Soit r = mod( (n-1)!-n , n+2 )
Question 1 :
Montrer que si 6k+1 est un nombre composé, alors r=2
Question 2
Montrer que si 6k+1 est un nombre premier, alors r=3k+1
La question 1 est très facile
La question 2, on a l'impression que c'est vrai, mais je n'ai pas la démonstration.
Quand tu auras prouvé ce résultat n°2, alors le résultat que tu donnes est évident.
Et cette question 2 est a priori plus facile à démontrer que celle que tu poses, et surtout, beaucoup plus forte.
Merci pour ta réponse et pour la reformulation du problème.
D'accord donc j'étais parti sur de fausses pistes.
La question 1 oui c'est évident.
Pour la 2 je n'ai pas d'idée. Mais n'est-ce pas "montrer que si 6k+1 est un nombre premier, alors r=3k+2" ?
Ou je me trompe ?
Oui, évidemment, 3k+2.
Je n'ai pas le temps de développer, mais je crois que j'ai la démonstration.
L'idée, c'est que Z/pZ est un corps dès que p est premier.
Bonjour,
c'est le théorème de Wilson qui permet de montrer le résultat proposé par ty59847.
Si est un nombre premier alors
.
On en déduit puis
.
En multipliant par on obtient
.
Avec on obtient
(il y avait bien une coquille dans l'affirmation de ty59847).
Les premières valeurs donnent bien ce que Meiosis a trouvé :
.
Pour on obtient
puisque
est composé (résultat donné par ty59847).