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Niveau autre
Série complexe
Posté par paulinette
Bonjour à tous,
J'ai besoin d'aide pour résoudre l'exercice suivant:
Soient et
.
1a.Montrer que f converge uniformément sur tout compact de 
\
. Que peut-on en déduire?
b.montrer que f et g sont 1-périodique.
c.Pour (x,y)
(
\)*, montrer que f(x+iy) et g(x+iy) convergent uniformément (en x) vers 0 lorsque |y| tend vers l'infini.
2. Soit h(z)=f(z)-g(z). Montrer que h est prolongeable en une fonction entière et déduire de 1b. et 1c. que f=g.
La question 1b. est facile. Pour le début je pense qu'il faut utiliser le théoreme de Weierstrass, mais je n'ai plus l'énoncé en tete et je n'ai pas réussi à trouver un énoncé qui convient.
Pouvez vous me donner quelques indications ?
Merci pour votre aide
Bonjour,
si tu as convergence uniforme sur tout compact de séries de fonctions holomorphes tu peux en déduire que la somme est holomorphe sur C\Z donc définit une fonction méromorphe sur C.
Ok, merci.
J'ai du mal à montrer la convergence uniforme car la série est pour n. Comment puis_je procéder?
Je pese que je dois couper la somme en 2 une partie pour n<0 et l'autre pour n>0 et montrer que les deux convergent uniformément, et la limite sera la somme des deux limites, mais je n'arrive à prouver la convergence uniforme. Faut-il majorer par quelque chose?Ou bien adopter une autre méthode, et dans ce cas, pouvez vous m'indiquer la démarche?
Salut !
pour une série sur Z quelconque le terme "converger uniformement" serait tres mal choisit, etant donné que ca dépend de la facon dont on va "parramétrer" Z.
Mais ici ce n'est pas réellement un probleme : on à en réalité convergence normale de la série (sur tous compact) et quand il y a convergence normale (comme la convergence absolue) ne dépend pas de l'ordre des termes quand on somme, ca à donc un sens de sommer sur Z (en fait qu'on à une série absoluement/normalement convergente on peut indéxer la somme par n'importe qu'elle ensemble dénombrable...)
Sinon concretement : soit K un compact de C/Z, il existe R telle K est inclu dans le disque de centre 0 et de rayon r, des que |n|>r, alors 1/|(n-z)|² < 1/(n²-r²) = O(1/n²)
donc la série est bien normalement convergente sur K.