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Série convergente L(E,F)

Posté par
Dacolate 22-10-18 à 00:02

Dans L(E,F)
Soit u€ L(E,F)
Montrer que \sum{(-1)^nu^n} converge vers (id-u)^-1

Posté par
luzakre : Série convergente L(E,F) 22-10-18 à 08:35

Bonjour !
quel sens donner à "id" quand E\neq F ?

Si E=F,\;u=\marhrm{id} la relation demandée est fausse !

Je pense que tu n'as pas donné l'énoncé exact !

Posté par
Dacolatere : Série convergente L(E,F) 22-10-18 à 11:35

Oui Luzac t'as raison

E=F et il est précisé que ||u||<1
||id||=1

Posté par
jsvdbre : Série convergente L(E,F) 22-10-18 à 11:59

Bonjour Dacolate.
Alors pourquoi ne pas mettre tout de suite un énoncé complet et rigoureux et devoir tirer les vers du nez ?

Calcule  T_n = (I-U) \left(\sum_{k=0}^{k=n}(-1)^kU^k\right) puis ...

Posté par
Poncarguesre : Série convergente L(E,F) 22-10-18 à 12:06

J'imagine que tu as des hypothèses de complétude également.

Posté par
luzakre : Série convergente L(E,F) 22-10-18 à 12:29

Bonsjour jsvdb !
Si tu mets des matrices tu supposes être en dimension finie!

De toutes façons l'énoncé est faux, il s'agit probablement de chercher l'inverse de \mathrm{id}+u !
Pour \mathrm{id}-u il n'y a pas les (-1)^n !

Posté par
jsvdbre : Série convergente L(E,F) 22-10-18 à 12:46

Bonjour luzak.
Qui a dit que je mettais des matrices ??? C'est parce que j'ai mis une majuscule ?
Et en plus, effectivement, il manque que E soit complet.

Posté par
jsvdbre : Série convergente L(E,F) 22-10-18 à 12:54

Il manque aussi une hypothèse de continuité.
Okay, on va se la jouer rigoureux, car là, ça commencer à me **biiip** (1):

Proposition.

Soit E un espace de Banach et soit T \in \mathcal L_c(E;E).

Si ||T|| < 1 alors I-T est un isomorphisme de E.

De plus, la série \sum T^n est convergente et on a (I-T)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty}T^n
_____________________
(1) une traduction approximative du bip est "me chauffer les oreilles"

Posté par
jsvdbre : Série convergente L(E,F) 22-10-18 à 13:03

Preuve :

||T^n|| \leq ||T||^n

\sum ||T||^n converge car ||T|| < 1

\sum ||T^n|| converge implique que \sum T^n est normalement convergente.

E de Banach implique Lc(E;E) est de Banach implique \sum T^n est convergente.

(I-T)\sum_{k=0}^{k=n}T^n = \sum_{k=0}^{k=n}T^n - \sum_{k=0}^{k=n}T^{n+1}

On fait tendre n vers l'infini et on trouve que (I-T)\sum_{}^{\infty}T^{n} = I

On vérifie de même que \left(\sum_{}^{\infty}T^{n}\right)(I-T) = I.

On fournit les conclusions qui s'imposent : I - T est un isomorphisme, I - T\in \mathcal L_c(E;E) et son inverse est ....

Posté par
Dacolatere : Série convergente L(E,F) 24-10-18 à 08:22

jsvdb @ 22-10-2018 à 13:03

Preuve :

||T^n|| \leq ||T||^n

\sum ||T||^n converge car ||T|| < 1

\sum ||T^n|| converge implique que \sum T^n est normalement convergente.

E de Banach implique Lc(E;E) est de Banach implique \sum T^n est convergente.

(I-T)\sum_{k=0}^{k=n}T^n = \sum_{k=0}^{k=n}T^n - \sum_{k=0}^{k=n}T^{n+1}

On fait tendre n vers l'infini et on trouve que (I-T)\sum_{}^{\infty}T^{n} = I

On vérifie de même que \left(\sum_{}^{\infty}T^{n}\right)(I-T) = I.

On fournit les conclusions qui s'imposent : I - T est un isomorphisme, I - T\in \mathcal L_c(E;E) et son inverse est ....


Svp je vois pas pkw(I-T)\sum_{}^{\infty}T^{n} = I

Posté par
Camélia Correcteurre : Série convergente L(E,F) 24-10-18 à 14:54

Bonjour

Commence par écrire (I-T)(\sum_{k=0}^nT^k) pour des petites valeurs de n.


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