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Série de Composée Trigo

Posté par Louloopings 25-10-23 à 17:08

Bonjour, petit message pour savoir si quelqu'un pourrait me donner une piste ou une solution (mais de préférence les deux peut être) pour déterminer la convergence (ou non-convergence) de la série suivante : {\sum_{k=1}^{+\infty }{\frac{cos(\frac{pi}{2}sin(n))}{n}


Merci d'avance

Posté par
verdurinre : Série de Composée Trigo 25-10-23 à 18:06

Bonsoir,
on peut remarquer que \cos\bigl(\frac\pi2\sin n\bigr)>0.

Posté par
thetapinch27re : Série de Composée Trigo 26-10-23 à 11:00

Bonjour,

Je propose de montrer cette inégalité pour prouver la divergence de la série (si elle diverge bien ...) :
cos(x) 1-(2/)|x| pour x [-/2, /2]

Je précise que l'utilité de ma proposition est à confirmer car je n'ai pas fait l'exercice.

Bon courage

Posté par Louloopingsre : Série de Composée Trigo 26-10-23 à 11:28

Bonjour, j'ai bien remarqué que le terme général de la série était positif mais je n'arrive pas a conclure, je n'arrive pas a trouver d'équivalent ni de comparaison utile. La comparaison série-intégrale ne m'a pas aussi sembler aider dans la mesure ou un tel intégrale me parait trop dur a calculer…

Néanmoins merci pour vos réponses !

Et je vais jeter un œil (ou deux) a cette inégalité Thetapinch !

Posté par
thetapinch27re : Série de Composée Trigo 26-10-23 à 14:06

reBonjour,

On peut en effet montrer que cette série est divergente en partant de l'inégalité que je propose. Ceci revient à montrer que la série de terme général :
(1-|sin(n)|) / n diverge

Ensuite on peut noter que 3 entiers consécutifs ne seront jamais tous compris dans :
[/2-/4, /2+/4] [-/2-/4, -/2 + /4]
(faire un dessin pour s'en convaincre)

Il reste quelques trucs à régler pour bien exploiter la propriété que j'énonce ci-dessus ; je te laisse la main.

Bon courage

Posté par
verdurinre : Série de Composée Trigo 26-10-23 à 19:51

Sinon on peut remarquer que \cos\bigl(\frac\pi2\sin n\bigr) ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini.

Et donc que \dfrac{\cos(\frac{\pi}{2}\sin(n))}{n} est du même ordre de grandeur que \dfrac1n.

Ce qui indique que la série est divergente.

Posté par
thetapinch27re : Série de Composée Trigo 26-10-23 à 21:04

Bonsoir,

@verdurin : philosophiquement c'est un peu l'idée en effet mais il faut quand même se méfier de ce genre de raccourci intellectuel car il existe des suites Un positives et non convergentes vers 0 telles que la série de terme général Un/n converge.

Exemple:
Un=0 si n n'est pas un carré parfait
Un=1 si n est un carré parfait

Un est positive et ne converge pas vers 0 et pourtant la série de terme général Un/n converge.

Bonne soirée

Posté par
verdurinre : Série de Composée Trigo 27-10-23 à 17:45

Salut thetapinch27
Tu as bien entendu raison.
En fait je cherchais la valeur moyenne du numérateur, et là j'eus un court-circuit.

Posté par
jandri Correcteurre : Série de Composée Trigo 27-10-23 à 21:18

Bonjour,

voici une démonstration.

Pour tout k\in\N^* il existe un entier n_k dans l'intervalle [k\pi-\dfrac{\pi}6,k\pi+\dfrac{\pi}6] (intervalle de longueur \dfrac{\pi}3>1).

On a alors |\sin(n_k)|=|\sin(n_k-k\pi)|\leq 1/2 d'où \cos(\dfrac{\pi}2\sin(n_k))\geq \dfrac1{\sqrt2}.

Comme le terme général de la série est positif on peut minorer sa somme par \sum_{k\geq1}\dfrac1{\sqrt2n_k}\geq\sum_{k\geq1}\dfrac1{\sqrt2(k\pi+\pi/6)} qui est une série divergente.


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