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Niveau Maths sup
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serie de fourier

Posté par
moimath
15-04-21 à 14:21

série de Fourier

Bonjour,
merci de vérifier si les coefficients (an ,bn et Sf) Fourier sont justes

f(t) =
cost     si   ?? ? t < 0,
sin t       si   0 ? t < ?.

1. Déterminer les coefficients de Fourier an et bn de la fonction f.
2.Déterminer la série de Fourier de f. Cette série converge-t-elle ?
3. Étudier la somme de la série en t = 0. En déduire la valeur de la série
\sum_{n=1}^{\infty }{\frac{1}{(4n^2-1)}}

reponse
a_{n}=\frac{1}{\pi }\left(\frac{ 1+(-1)^n}{n^2-1} \right)

a_{2p}=\frac{2}{\pi }\left(\frac{1}{4p^2-1} \right)

a_{2p+1}=0

a_{0}=\frac{2}{\pi }

b_{n}=\frac{1}{\pi }\left(\frac{n(1+(-1)^n)}{1-n^2} \right)

b_{2p}=\frac{1}{\pi }\left(\frac{-4p}{4p^2-1} \right)

b_{2p+1}=0

b_{0}=0

b_{1}=\frac{-2}{\pi }

oui ça converge d?après le théorème de Derichlet

Sf(t)= \frac{a_{0}}{2} + b_{0} + a_{1} + b_{1} + \sum_{p=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{\pi }\frac{1}{4p^2-1}*cos(2pt) - \frac{4p}{\pi (4p^2-1)}*sin(2pt) \right)}

t=0
Sf(0)= \frac{1}{\pi }+ 0 + \frac{1}{2} -\frac{2}{\pi } + \sum_{p=1}^{\infty }{\left(\frac{2}{\pi }\frac{1}{4p^2-1} \right)}=1/2

\sum_{p=1}^{\infty }{\frac{1}{4p^2-1}}=\frac{1}{2}

Posté par
moimath
re : serie de fourier 16-04-21 à 08:26

Bonjour,
merci de me montrer a quel niveau j'ai faux.Pourquoi la somme de la série est fausse?

f(t)=\begin{cases} cost & \text{ if } -\Pi \leq t<0 \\ sint & \text{ if } 0\leq t<\Pi \end{cases}

Posté par
lionel52
re : serie de fourier 16-04-21 à 09:34

Hello! La somle vaut 1/2 quel est le probleme?

Posté par
moimath
re : serie de fourier 16-04-21 à 10:16

Bonjour,
si je fais une vérification et je pose p=1,

\frac{1}{3}=\frac{1}{2}

aussi si b_{2p+1}=0

ce n'est normal de trouver

b_{1}=\frac{-2}{\Pi }

merci de m'expliquer.



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