Niveau Licence-pas de math

Série de Laurent

Posté par
Mayssam 12-06-18 à 14:54

Bonjour,

On considère la fonction de la variable complexe z donnée par
$f(z) = \frac{1}{z(z-1)}$
Déterminer la série de Laurent de f autour de 0 sur la couronne

$H =\left\{z\in \C\mid 0<\left| z|<1 \right\}$

Je ne vois pas comment faire

Merci !

Posté par re : Série de Laurent 12-06-18 à 14:56

Bonjour

Commence par faire une décomposition en éléments simples, puis développe!

Posté par re : Série de Laurent 12-06-18 à 15:31

Bonjour Camélia,

Est-ce que ça ferait sens d'écrire :

$\frac{1}{z(z-1)} = \frac{1}{z}*\frac{1}{z-1} = -\frac{1}{z}*\frac{1}{1-z} = -\frac{1}{z}*(1+z+z²+...)$
= $-\frac{1}{z}-1-z-z²-...$

Bonne journée,
LeHibou

Posté par re : Série de Laurent 12-06-18 à 15:42

Bonjour LeHibou

Dans ce cas oui, puisque on trouve exactement la même chose.

Ma réponse est générale. Si on a des complexes $a$ et $b$ tels que $0 < |a| < |b|$ et si on veut la série de Laurent de $\dfrac{1}{(z-a)(z-b)}$ , sur la couronne $|a| < z < |b|$ , une décomposition en éléments simples mène à une somme de séries. Sinon, on se trouve avec un produit de Cauchy pas facile à calculer!