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Série de Laurent

Posté par
Apacheoka 13-10-21 à 16:33

Bonjour,
J'ai un gros problème de compréhension théorique avec les séries de Laurent, j'ai du mal à saisir le concept et surtout à pouvoir être efficace à les calculer rapidement sans passer des heures par la théorie car mes partiels sont pour très bientôt, et que bien même avec des heures de théorie sur le sujet, le temps presse.

Je vous donne un exemple, soit f(x) = (e^z)/(z-1)\f
je cherche à calculer cette fonction sous forme de série dans le disque 0 < module(z) < 1

Je vois que on un quotient de deux fonction écrivables sous forme de série de laurent :


1/(1-z) = \sum{z^n} pour 0 < module(z) < 1 et \exp z=\sum{z^n/n!} pour quelque soit z dans C

J'ai essayé la technique du produit des séries mais ça ne donne rien de cohérent, et pour garder la définition d'écriture de série entière je pense que la forme 1/(z-1)*\sum{z^n/n!} est juste
contrairement à \sum{e^zz^n} car il y a un terme qui dépend de z dans le coefficient an

maintenant la formule que j'obtient est valable dans C car je n'ai pas développé l'inverse de z-1 en série entière et le développement de l'exponentielle est valable, apparemment pour quelque soit z dans C

Pourtant mon professeur demande précisément pour 0 < module(z) < 1

Aussi, on me demande après le développement pour module(z-1) >0 mais la je ne vois pas comment ruser dans l'écriture pour faire apparaitre quoique ce soit.

également pour la première question, on me parle de résidu mais je n'y comprends absolument rien, si quelqu'un pourrait m'éclaircir de manière simple ça m'aiderai vraiment à mieux aborder ce chapitre d'analyse.

Merci à vous tous

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 17:01

Bonjour,

Ton discours est loin d'être clair. La fonction z\mapsto \dfrac{e^z}{z-1} est holomorphe dans le disque |z|<1. Tu peux la développer en série entière à l'origine, avec rayon de convergence égal à 1.

Pourrais-tu indiquer très précisément ce qu'on te demande ensuite ? Un développement en série de Laurent autour du pôle z_0=1 ?

S'il te plaît, donne l'énoncé précis, et pas ton interprétation qui n'est pas claire.

Posté par
jsvdbre : Série de Laurent 13-10-21 à 17:01

Bonjour Apacheoka.

\dfrac{e^z}{z-1}=\dfrac{e^{Z+1}}{Z} où Z = z+1

Posté par
jsvdbre : Série de Laurent 13-10-21 à 17:07

Z = z \red -1

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 17:40

Bonjour,
Soit la fonction complexe f(x) = \frac{e^z}{z-1}
Développer en série f(z) pour 0 < module(z) < 1
Donner l'éventuel résidu de f(z) en z = 0. pouvait on préduire ce résultat ?
J'ai trouvé f(z) = \frac{1}{1-z}\sum{\frac{z^n}{n!}}
pour n allant de 0 à l'infini.
Ensuite pour le résidu, je n'ai aucune piste si ce n'est qu'il s'agit du coefficient a-1 de la série
Merci pour vos réponses.

Posté par
jsvdbre : Série de Laurent 13-10-21 à 17:47

Comme te l'as dit GBZM, ta fonction f est holomorphe sur D= D(0,1) et tu l'as dit toi-même, tu as fait f(z) = (\sum z^n)(\sum z^n/n!) : pas le choix sur D.
Sinon, je t'ai montré comment faire sur toute couronne autour de 1.

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 17:52

Bonsoir,
la réponse que j'ai donné dans mon dernier message n'est donc pas correcte ?
Cordialement,
Amr Abdelwahab

Posté par
jsvdbre : Série de Laurent 13-10-21 à 17:58

Si tu parles de f(z) = \frac{1}{1-z}\sum{\frac{z^n}{n!}}, alors non, ce n'est pas correct car ce n'est pas un DSE sur D(0,1)

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 18:02

Quelle est donc la bonne réponse à cette question ?
Peux tu me détailler ta démarche pour la première question ( série et résidu ) ?

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 18:36

En z=0, pas de pôle, pas de résidu ! Par contre il y a un résidu au pôle z=1.
Tu connais le dse en \dfrac1{z-1} en 0, tu connais aussi celui de e^z, il suffit donc de faire le produit !

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 18:40

Rebonsoir,
Très bien, je comprend un peu mieux maintenant, il faut toujours rester sur la définition formelle d'une série. L'astuce me permet maintenant d'écrire que :
f(z) = e\sum{\frac{(z-1)^n}{n!}} pour n allant de  à l'infini.
il n'y a pas de partie régulière dans ce développement dois-je en conclure que le résidu est forcément nul ?
Cordialement,
Amr Abdelwahab

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 18:51

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 19:09

Je crois que les séries entières C pas pour moi haha on nous donne pas la chance de comprendre correctement ces concepts à la fac. On rush absolument tout et voilà le résultat. Auriez vous des livres, des pdf, tout ce qui pourrait m'aidez à appréhender correctement cette partie de l'analyse car la......

Posté par
jsvdbre : Série de Laurent 13-10-21 à 19:12

Dans ton moteur de recherches préféré, tu tapes "cours analyse complexe pdf" et c'est parti mon zapy, t'auras que l'embarras du choix.

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 19:14

Mais si, tu y arriveras, à condition d'être plus précis dans ce que tu écris.
Par exemple pour le dse en 0 :
Quel est le dse de \dfrac1{z-1} en 0 ?
Quel est le dse de e^z en 0 ?
Quel est le coefficient de z^n dans le dse de f en 0 ?

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 19:20

Bonsoir,
Encore une fois, pourriez vous me fournier les réponses aux questions suivantes : soit f(z) déjà evoquée
développer en série f(z) pour 0 < z < 1
donner l'éventuel résidu de f(z) en z = 0. pouvait on prévoir ce résultat ?
développer en série f(z) pour 0 < module(z-i) < racine de 2
donner l'éventuel résidu de f en z = i. Pouvait on prévoir ce résultat ?  J'ai besoin des solutions pour au moins construire un raisonnement car la je reste bloqué.
Merci à vous.

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 19:31

Citation :

J'ai essayé la technique du produit des séries mais ça ne donne rien de cohérent,

Qu'est-ce que ça donne d'incohérent ? Ne peux-tu pas expliciter le coefficient de z^n dans le produit ?

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 19:37

Bonsoir,
Non car le produit des somme n'est pas la somme du produit.

Posté par
jsvdbre : Série de Laurent 13-10-21 à 19:51

Ecris explicitement les premiers termes et tu vas voir que c'est sympa : (donc sur D(0,1))

\dfrac{1}{z-1} = 1+z+z^2+z^3+z^4+z^5+\cdots+z^n+\cdots

e^z=1+z+\frac{z^2}{2!}+\frac{z^3}{3!}+\frac{z^4}{4!}+\cdots+\frac{z^n}{n!}+\cdots

Et maintenant la série produit : \frac{e^z}{z-1}

- le coefficient constant est 1 (évident)

- le coefficient de z est 1 + 1

- le coefficient de z^2 est ...

- le coefficient de z^3 est ...

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 19:59

Bonsoir,
Mais qui y a t il de faux dans l'expression e fois somme (((z-1)^n) /n!).  J'ai utilisé ton argument et c'est ce que je trouve pourquoi donc passer par le produit ?

Série de Laurent

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 20:41

Bonsoir,
Finalement, je pense avoir trouvé.
J'ai raisonné, sous la contrainte, de manière brusque et hasardeuse. J'aurai du réfléchir intuitivement en terme de développement limité de produit tout simplement, c'est à dire tenir compte du développement de chacune des deux fonctions. Moi même, je m'étonne d'une telle faute, peut être parce que ce sont des notions qui demandent beaucoup de temps à intégrer ....

Je trouve f(z) = \sum_{n=0}^{+inf}(1+\sum_{k=0}^{n}{\frac{1}{k!}})z^n. Est-ce correct ?

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 20:43

Je peux également conclure en disant que le résidu est nul
car a indice -1 est nul. Egalement, nous aurions pu le prévoir en remarquant que z = 0 n'est pas un pôle, il n'y a donc pas de résidu, est-ce cela ?

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 21:10

OK, sauf qu'il y a une erreur de signe (faite par jsvdb) pour \dfrac1{z-1} et qu'il y a un 1 parasite dans le coefficient de de z^n, qui est -\sum_{k=0}^n\dfrac1{k!}.

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 21:29

Ah oui, effectivement
0! = 1! = 1 le 1 n'a donc rien à faire et il faut inverser le signe car il s'agit de 1/(z-1) = -1/(1-z).
Maintenant, je dois effectuer la même chose mais avec module(z-i) > racine de 2

le développement en série dans ces conditions pour 1/z-1 est \frac{1}{z-i}\sum_{n=0}^{+inf}{(\frac{1-i}{z-i})^n}

le développement de exp(z) reste il le même ou doit être modifier vu les nouvelles conditions sur z ?
Je pense qu'il doit rester le même car la DSE de exp est valable pour tout z appartenant à C

finalement, on a
\frac{1}{z-i}\sum_{n=0}^{+inf}{(\frac{1-i}{z-i})^n}* \sum_{n=0}^{+inf}{z^n/n!}

Sauf que je ne vois pas comment séparer la partie régulière et analytique en deux parties distinctes ... pourriez vous m'éclairer sur ce sujet ?

Cordialement,
Amr Abdelwahab

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 21:52

D'après ce que je comprends, on doit faire un développement en série entière de la variable w=z-i. Il faut donc exprimer \dftrac1{z-1} et e^z en fonction de w.
Entre nous, c'est casse-pied.

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 21:52

Pardon, \dfrac1{z-1}

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 21:58

Mais il faut bien sinon ça serait pas drôle hein  !
comment effectuer le développement de exp(z) au point w = z-i tel que module(z-i) > racine de 2 ?

Posté par
GBZMre : Série de Laurent 13-10-21 à 22:02

Apacheoka @ 13-10-2021 à 21:58


comment effectuer le développement de exp(z) au point w = z-i tel que module(z-i) > racine de 2 ?

Non, dse de e^z au point i.   e^z= e^{i+w}= \ldots

Bonne nuit

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 13-10-21 à 22:10

Merci papy à toi aussi

Posté par
Apacheokare : Série de Laurent 15-10-21 à 19:42

Bonsoir à tous,
Pour revenir sur la série de laurent de exp(z)/z-1.
J'ai produit le raisonnement que je vous envoie en image-ci jointe
Pour calculer la série dans le domaine z-i > racine de 2
dans z-1 j'ai fait apparaître i-1/z-i après une factorisation astucieuse
pour pouvoir développer en série entière.
En ce qui concerne l'exponentielle, je sais que son développement en série entière est valable pour tout z appartenant à C, mais j'ai rusé
pour faire apparaître le terme z-i puissance n dans la série.
j'ai ensuite effectué le produit des sommes et essayé de le développer pour remarquer la forme des coefficient devant les puissances mais sans résultat ....
Vous trouverez tous les calculs dans l'image ci-jointe.
Merci à vous tous pour vos éventuels retour

** image supprimée **

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Série de Laurent 16-10-21 à 09:01

Bonjour Apacheoka,
Tu as vu ceci avant de poster ton image :

Citation :
Énoncé d'exercice (ou de problème) et recherches (même non abouties) : le respect de la Q.05 de la FAQ est obligatoire.

Pour lire "la Q.05 de la FAQ" :
attentionextrait de c_faq la FAQ du forum :

Q05 - Puis-je insérer une image dans mon message ? Comment faire ? Quelle image est autorisée ?

L'avant dernier paragraphe te concerne.


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