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Série de Laurent formelle
Posté par tomsoyer
Bonsoir,
Soit K un corps commutatif.
Le développement en série de Laurent s'apparente aux développements limités à l'origine d'une fonction numérique. L'analogue des développements limités en d'autres points s'obtient comme suit. Soit et soit
. En posant
et
, on définit une fraction rationnelle
. Celle-ci admet un développement en série de Laurent
. On remplace alors Y par X-a, et l'on écrit :
Ainsi, le développement en série de Laurent de au voisinage de 1 s'écrit-il :
Si j'ai bien compris mon cours, X est l'élément défini par la suite (0,1,0,...). Ainsi, je me demandais quel sens donner à (et donc à Y aussi) ?
De plus, je ne suis pas sur de comprendre pourquoi la série de Laurent formelle S est entière :
Merci d'avance
En vous souhaitant une bonne soirée
salut
l'élément a est a = (a, 0, 0, ....)
et tu sais additionner ou soustraire des suites (terme à terme) ...
Il me semblait que dans le cas des séries formelles, X était l'élément défini par la suite (0,1,0,...). Mais en regardant Y, il me semble que ce ne soit pas toujours le cas.
Pourriez vous m'éclairer là dessus ?
De plus, avez vous compris pourquoi S est une série de Laurent formelle entière ? Par là, pourquoi n'avons nous pas juste ?
Bonjour,
X ou Y, c'est la même chose, c'était juste une notation pour rendre l'idée d'un "changement de variable". Mais dans K[[Y]] bien sûr Y s'identifie à (0,1,0,...).
Pour votre deuxième question je suppose que n'est pas nécessairement positif, donc non, ce n'est pas une entière en toute généralité bien sûr. Chez moi K[[Y]] est l'ensemble des séries de Laurent formelles (non nécessairement entières : K[Y] est là pour ça, non ?).
Si F := 
n unXn est dans K [[X]] et a dans K* on ne peut pas pas parler de F(X - a) .
Si on a une topologie sur K et si la suite n 
k<n uk(z - a)k converge on pourra noter sa limite F(z - a) .
Il ne faut pas confondre avec la composition dans K [[X]] notée (F , G) F o G ( ou F(G) ) qui est définie si la valuation de G est > 0 .
Bonsoir,
Merci pour vos réponses.
etniopal si ce n'est pas possible, que penser de ce paragraphe en bleu ?