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Série de séries formelles

Posté par
raisinsec
30-03-21 à 15:06

Salut,

Je suis tombé sur un polycopié qui nous dit q'une série formelle dans K[[X]] est inversible SSI a_{0}=0.

Pour nous convaincre on nous dit que si on a une série formelleS telle que a_{0}=0 on a \sum_{n=0}^{\infty}S^{n}, et ils utilisent ce résultat pour trouver l'inverse.

Mais pourquoi la série des S^{n} est bien définie ?

Posté par
raisinsec
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 15:08

On a (1-S)^{-1}=\sum_{n=0}^{\infty}S^{n}

Posté par
LeHibou
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 16:01

Bonjour,

Ç'est a0 0
La propriété sous sa forme la générale est qu'une série formelle dans K[X] est inversible ssi a0 est inversible dans K.
Si K est un corps, ça se réduit à a0 0

Posté par
raisinsec
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 16:16

Oui elle est inversible SSI a_{0} \neq 0.
Le premier coefficient de S est quand même nul ici.

Posté par
LeHibou
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 16:21

Non, par convention S0 = 1
A rapprocher de a0 = 1 pour tout a réel, que tu connais déjà.

Posté par
raisinsec
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 16:43

Si, le premier coefficient de S est nul, simplement parce que je le suppose nul.
Je ne parle pas de la série des puissance de S.
Dans tous les cas ma question ne porte pas sur ça, mais sur pourquoi la série des puissance de S est bien définie.

Posté par
GBZM
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 16:44

Bonjour,

Remettons les choses d'aplomb.

Soit S une série d'ordre >0, c.-à-d. dont le coefficient constant est nul. Alors la série 1-S est inversible d'inverse \sum_{n=0}^\infty S^n. La famille (S_n) est bien sommable car l'ordre de S^n est supérieur ou égal à n.
Soit maintenant une série formelle A de coefficient constant a_0 inversible. Alors  A=a_0(1-S)  où S=a_0^{-1}A-1 est d'ordre >0. Donc A est inversible d'inverse a_0^{-1}\sum_{n=0}^\infty S^n.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 16:49

Bonjour

Ce n'est pas clair ce que tu veux faire.
Mais, si tu as une série S, dont le premier coefficient non nul est b_k, le premier coefficient non nul de S^n est (b_k)^n. Dans la somme \Sigma S^n à chaque rang il y a un nombre fini de termes, donc la série somme est bien définie.

LeHibou (que je salue), a bien sûr raison, une série est inversible si et seulement si a_0\neq 0

Posté par
Camélia Correcteur
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 16:51

Je n'avais pas vu le post de GBZM, alors je le salue aussi!

Posté par
raisinsec
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 17:03

Salut GBZM et Camélia.

Exact GBZM c'est ce qui est écrit dans le polycopié, et je suis d'accord avec ça, si tant est que la série soit définie. D'accord l'ordre de S^{n} est supérieur ou égal à n, donc au fur et a mesure qu'on somme on a de moins en moins de termes, mais il y en a quand même une infinité non ? Je vois pas en quoi ça implique que ce soit bien défini. Je vois ça comme une limite de sommes finies dans un anneau, mais on veut sommer un nombre fini d'éléments.

Camélia je ne veux rien faire, je veux juste savoir pourquoi la série \sum_{n=0}^{\infty}S^{n} est bien définie, comme écrit dans mon premier message. Tu dis sensiblement la même chose que GBZM mais encore une fois j'ai du mal. Tu dis que à chaque rang (donc pour chaque n si je comprends bien) il y a un nombre fini de termes, mais on a une somme infinie d'un nombre fini de termes, donc c'est infini non ?
Oui LeHibou a raison, ce que je dis dans mon deuxième message.

Posté par
LeHibou
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 17:12

Salut à vous, Camélia et GBZM !

Posté par
GBZM
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 17:26

N'as-tu pas vu la notion de famille sommable de séries formelles ?
Si ça ne figure pas dans ton polycopié, c'est qu'il est mal fait. Si je pouvais attacher facilement un fichier pdf, je mettrais un bout d'un polycopié que j'avais écrit il y a de nombreuses années.

Posté par
raisinsec
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 17:31

Non, mon cours traite principalement des anneaux  et des corps et ne considère les séries formelles que comme exemple ou pour des exercices (en tous cas pour l'instant).

Mais en réalité ce que vous dites fait sens, comme l'ordre de S^n augmente, pour chaque degrés inférieur à n on a un coefficient qui est égal à une somme finie. Donc on se retrouve bien avec une série formelle.

Posté par
GBZM
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 17:33

Normalement, tu dois pouvoir le télécharger ici :

malou edit > (pdf mis à disposition par GBZM rapatrié sur le site )

Posté par
raisinsec
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 17:45

D'accord, merci beaucoup tout le monde

Posté par
malou Webmaster
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 18:09

Bonjour à tous,
GBZM, puis-je mettre ce fichier en lien durable ici, plutôt que ce lien qui va un jour s'éteindre de lui-même ?

Posté par
GBZM
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 18:30

Oui  bien sûr. Merci Malou !

Posté par
malou Webmaster
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 18:34

Merci.
Voilà qui est fait
Ne pas hésiter dans un cas similaire à faire un signalement pour qu'on rapatrie sur notre site.
Bonne soirée

Posté par
LeHibou
re : Série de séries formelles 30-03-21 à 23:32

-> GZBM
"Normalement, tu dois pouvoir le télécharger ici : "
Il est drôlement bien fait, ce cours, est-ce que les autres chapitres sont accessibles ?
Si le reste est aussi bien écrit, j'aimerais bien récupérer "la totale", à titre personnel bien sûr, je m'engage à ne pas diffuser !



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