salut,

soit f(x)=sum(n^3*x^n/n!,n=0..infinity)

on calcule le rayon de convergence( pour savoir a quel x la somme existe)
soit a(n)=n^3*x^n/n!
le rayon de convergence est donne par
limit(a(n)/a(n+1),n->infinity)
or a(n)/a(n+1)=(n+1)*n^3/(n+1)^3
donc limit(a(n)/a(n+1),n->infinity)=+oo
f existe pour tout x de IR
alors on va utiliser surtout que
sum(x^n/n!,n=0..+oo)=exp(x)

f(x)=n^2*x^n/(n-1)!,n=1..+oo)
    =x*n^2*x*(n-1)/(n-1)!,n=1..+oo)
en posant m=n-1 on obtient
f(x)=x/(m+1)^2*x^m/m!,m=0..+oo)
en utilisant l'identite remarquable on a
f(x)=x*(n^2*x^n/n!+2*n*x^n/n!+x^n/n!,n=0..+oo)
or (x^n/n!,n=0..+oo)=exp(x)

on va se rammener dans le calculs des autres formes a cette serie et en utilisant le meme chnagement de variable on obtient finalement

f(x)=exp(x)*x+3*exp(x)*x^2+exp(x)*x^3