Niveau maths spé

Série entière

Posté par
TheWing 23-10-17 à 16:20

Bonjour, voici ma question:
Pour tout x dans R, on pose: $\phi(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}Hn}{4^n(n!)^2}x^{2n}$ avec Hn la série harmonique.
Et aussi on a: $J(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{4^n(n!)^2}x^{2n}$

Déterminer le rayon de convergence de $\phi$ : je trouve $R=+\infty$ grâce à la règle de d'alembert (pas de pb)

En revanche, je doit trouver une relation entre $x\phi ''(x)+\phi '(x)+x\phi (x)$ et $J'(x)$ mais je n'y parvient pas.
J'ai commencé par exprimer $x\phi ''(x)+\phi '(x)+x\phi (x)$ mais je ne vois pas de relation avec $J'(x)$ à cause de Hn...

Merci d'avance

Posté par Série entière 23-10-17 à 17:42

bonjour,
Quand tu calcules $x\Phi''(x)+\Phi'(x)+x\Phi(x)$ tu obtiendras une série entiere d'exposant de x impair dont les coefficients se mettront sous la forme $\frac{(-1)^p a_n H_n+(-1)^{p-1}a_n H_{n-1}}{d_n}}$ ce qui te permettra d'avoir $(-1)^p(H_{n+1}-H_n)$
or $H_{n+1}-H_n=\frac{1}{n+1}$

Posté par re : Série entière 23-10-17 à 18:44

le problème est que je ne vois pas apparaître de $H_{n+1}$ ...
Je dérive et j'obtiens $\phi '(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}Hn*2nx^{2n-1}}{4^n(n!)^2}$ et $\phi ''(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}\frac {(-1)^{n+1}Hn*(2n)(2n-1)x^{2n-2}}{4^n(n!)^2}$

Mais je ne parviens pas, en regardant les deux termes en $x^{2n-1}$ à faire apparaître ce dont vous me parler.

Peut-être un problème dans mes dérivées ?

Posté par Série entière 23-10-17 à 19:24

bonsoir,
Je t'ai seulement suggérer ce qui va régler ton pb avec la suite harmonique, je ne suis pas rentré dans les réglages d'indices et d'exposants.

à toi de travailler précisément, Quand tu effectues la somme indiquée tu rassembles les termes de même degré .

Si tu as effectué correctement tes calculs (dérivée, produit par x) tu auras des termes avec 2 termes consécutifs de la suite harmonique.
Par exemple pour $x^5$ tu auras " du $H_2$ et du $H_3$ "

Après réduction au même dénominateur et simplification tu obtiendras ce que je t'ai indiqué. N'oublie pas que tu as 3 termes à assembler pour chaque exposant de x puisque tu as 3 termes dans ta somme. Remarque le décallage pour $x\Phi(x)$

mon intervention a simplement pour but de répondre à

Citation :
mais je ne vois pas de relation avec J'(x) à cause de Hn...

Posté par re : Série entière 23-10-17 à 23:29

Bonsoir TheWing !
Tes formules sont fausses : tu as au départ une sommation à partir de $n=1$ et tu écris des relations avec $n=0$ alors que $H_0$ n'est pas définie.

Quant à ton impossibilité de faire apparaître $H_{n+1}$ cela vient que tu as oublié que $H_n$ apparaît dans le coefficient de $x^{2n+1}$ mais pas dans le coefficient de $x^{2n-1}$ qui est indispensable...

Pour comprendre, écris les 2,3 premiers termes de es séries...

Posté par re : Série entière 24-10-17 à 11:26

bonjour, après avoir écris les premiers termes de cette série, je me rend compte que $H_n$ n'apparaît effectivement pas dans le terme en $x^{2n-1}$ ...
(bien sûr je comprend aussi mon problème avec $n=0$ )

En revanche, j'ai par la suite essayer de dériver différemment (par rapport à x) $\phi$ pour faire apparaître $H_{n+1}$ .
Je me retrouve avec: $\phi'(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}H_{n+1}2n}{4^n(n!)^2}x^{2n-1}$ et $x\phi''(x)\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{(-1)^{n+1}H_{n+1}2n(2n-1)}{4^n(n!)^2}x^{2n-1}$ .
C'est donc dans ces deux expressions que j'ai des termes en $x^{2n-1}$ qui me posent problème mais je n'arrive toujours pas à simplifier l'expression

En effet, je ne parviens pas à faire apparaître $H_{n+1}-H_n$

Posté par Série entière 24-10-17 à 11:57

bonjour,
tu ne vois pas qu'il faut aussi s'occuper de $x\Phi(x)$

Citation :
N'oublie pas que tu as 3 termes à assembler pour chaque exposant de x puisque tu as 3 termes dans ta somme

Posté par re : Série entière 24-10-17 à 15:05

Si $\Phi(x)=\sum_{n\geqslant1} a_nx^{2n}$ tu auras :
$\Phi'(x)=\sum_{n\geqslant1} (2n)a_nx^{2n-1}$
$\Phi''(x)=\sum_{n\geqslant1}(2n)(2n-1) a_nx^{2n-2}$
donc
$x\Phi(x)=\sum_{n\geqslant1} a_nx^{2n+1}=\sum_{n\geqslant2}a_{n-1}x^{2n-1}$
$x\Phi''(x)=\sum_{n\geqslant1} (2n)(2n-1)a_nx^{2n-1}$
et enfin
$x\Phi''(x)+\Phi'(x)+x\Phi(x)=2(1)a_1x+2a_1x+\sum_{n\geqslant2}(2n(2n-1) a_n+2na_n+a_{n-1})x^{2n-1}$

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