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Posté par
mousse42
re : Série entière 11-10-18 à 10:30

lionel52

tu es sûr??

On suppose que x:=1 et que x^2-2x+1\ne 0

x^2-2x+1=1^2-2\times 1+1 =0 contradiction


P\land \neg Q est faux donc P\implies Q est vraie

Peux tu me dire comment aurais-tu fait pour l'exemple donné par luzak

Posté par
luzak
re : Série entière 11-10-18 à 10:34

Non, tu ne peux pas comparer des sommes de série sans savoir si elles sont convergentes et,  au moment où tu écris ça, tu ne le sais pas !

Posté par
lionel52
re : Série entière 11-10-18 à 10:35

Sauf erreur, c'est assez courant de comparer 2 séries à termes positifs (même si les séries divergent)

Posté par
mousse42
re : Série entière 11-10-18 à 11:00

luzak

 |b_na^n|=\left|b_nr_n\dfrac{a^n}{r^n}\right|=\left|b_nr_n\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right|\le \left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right|

Donc pour tout p\in \mathbb{N}, on a \sum_{n=0}^p|b_na^n|\le\sum_{n=0}^p\left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right| on majore la suite des sommes partielles \left(\sum_{n=0}^p|b_na^n|\right)


et puisque \sum \left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right| converge, on déduit que  \sum |b_na^n| converge.


lionel, toujours pas compris ce que tu cherches à me dire

Posté par
lionel52
re : Série entière 11-10-18 à 11:18

Pour le coup je prenais ta défense pour ta comparaison entre 2 séries!

Perso ça me choque pas de voir quelque chose comme

\sum|b_na^n|\le \sum \left|M\left(\dfrac{a}{r}\right)^n\right|  

Vu que les termes de la série sont positifs.

Posté par
luzak
re : Série entière 11-10-18 à 11:21

@mousse42 :
Toujours non mais, cette fois parce que tu en fais trop !
Comparaison des termes généraux , très bien.
Utilisation des valeurs absolues, très bien.
Retour à l'utilisation des sommes partielles pour montrer leur majoration c'est rendre évident son ignorance du théorème fondamental de comparaison des termes généraux des séries de réels positifs.
Toute la ligne utilisant des sommes partielles est à enlever, la ligne qui suit, à elle seule, suffit.

@lionel52 :
On compare les termes, pas les séries. Puisque personne n'a défini un ordre sur les séries.

Posté par
mousse42
re : Série entière 11-10-18 à 11:41

lionel52

Citation :

Pour le coup je prenais ta défense pour ta comparaison entre 2 séries!


J'apprécie ton sens de la solidarité , malheureusement en mathématique l'union ne fait pas toujours la force, seul la vérité triomphe.

Posté par
Poncargues
re : Série entière 11-10-18 à 11:44

En l'occurence tes deux preuves etaient parfaitement correctes.

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 11-10-18 à 15:11

Bon finalement j'ai compris la résolution de l'exo en reprenant tout de A à Z mais bon faudra que j'étudie les séries entières en profondeur mais déjà faudrait que je recommence le programme de sup entier avec mon nouveau livre je suis pas rendu.
L'inscription au CAPES se termine cet aprem j'hésite à m'inscrire je serai jamais prêt en Mars

Luzak finalement j'ai compris vos indications en les relisant plusieurs fois

\forall x \in ]-1,1[ on a la série qui converge donc son terme générale converge vers 0 mais toute suite convergente est bornée donc la suite  |a_n r^n| = |(-1)^n r^n|=|r^n| est bornée.

R= \sup \{ r \geq 0 , (|a_n  r^n|) \ est \ bornee \}

Posons :  A=\{ r \geq 0 , (|a_n  r^n|) \ est \ bornee \}

On a : ]-1,1[ \cap \R^+ = [0,1[ \subset A

On a un théorème qui dit que pour des parties de \R: A \subset B alors \sup(A) \leq \sup(B)

Donc : \sup (]-1,1[)=1 \leq \sup(A) = R d'où la première inégalité R \geq 1

Pour x=1 la série diverge grossièrement car (-1)^n ne tend pas vers 0 donc : la suite |a_n r^n| est bien bornée car |(-1)^n \times 1| = 1

Ainsi : 1 \in A

Par ailleurs, pour r >1 on a : |a_n r^n| = |(-1)^n r^n| = |r^n| = r^n
Cette suite diverge vers + \infty donc elle n'est pas majorée elle n'est donc pas bornée.

Ainsi  1 est un majorant de A, mais le plus petit majorant est inférieur à 1 donc : \sup(A) \leq 1 soit R \leq 1

Posté par
mousse42
re : Série entière 11-10-18 à 16:35

j'ai l'impression que tu te prends trop la tête.

on pose a_nx^n:=(-1)x^n

Si tu veux travailler à partir de cette définition

R=\sup\bigg\{|r|,\quad r\in \mathbb{R}, (a_nr^n)\;\text{est bornée}\bigg\}
 \\
et bien tu cherches r\in \mathbb{R} tel que (a_nr^n) soit bornée.


Tu auras donc \bigg\{|r|,\quad r\in \mathbb{R}, (a_nr^n)\;\text{est bornée}\bigg\} =[0,1]
et donc  R=\sup([0,1])=1 et c'est fini, pas besoin de passer par la série.

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 11-10-18 à 16:37

Merci Mousse vous avez raison

Posté par
mousse42
re : Série entière 11-10-18 à 16:57

Ramanujan

Je te propose un exercice intéressant:

Citation :

1) Déterminer le rayon de convergence R de la série entière à variable complexe, \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{z^n}{n}

2) Trouver un point du bord du disque de centre O et de rayon R en lequel cette série converge et un autre en lequel cette série diverge.

Posté par Profil Ramanujanre : Série entière 11-10-18 à 17:11

Mousse je préfère pas me concentrer sur les séries entières pour l'instant (pas vu le cours et pas encore acheté mon livre de maths spé), je veux d'abord travailler sur le programme de Sup. Déjà si je finis le programme de sup d'ici Mars ça sera un miracle !

Mais je passerai au programme de Spé bien entendu en temps voulu ^^

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