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Série entiere

Posté par
princesyb
18-05-22 à 20:23

Bonjour on m'a donné la série entière suivante et on me demande de faire son développement en série entiere


Voici la question
1)\sum_{n>=0}^{}{\frac{3n}{n+2}}

Moi j'ai décomposé \sum_{n>=0}^{}{}\frac{3n}{n+2}x^n= \sum_{n>=0}^{}{} 3(1-\frac{2}{n+2})x^n=3 \sum_{n>=0}^{}{x^n}-6\sum_{n>=0}^{}{\frac{1}{n+2}}x^n=\frac{3}{1-x}- 6\sum_{n>=1}[tex]\frac{3}{1-x}- 6\sum_{n>=1}^{}{\frac{x^n}{nx^2}}+\frac{1}{2}= \frac{3}{1-x}- \frac{6}{x^2}\sum_{n>=1}^{}{\frac{x^n}{n}}-3=\frac{3}{1-x} -\frac{6}{x^2}\sum_{n>=1}^{}{\frac{x^n}{n}}-3=\frac{3}{1-x}+\frac{6}{x^2}ln(1-x)-3



Sauf que apparemment j'ai fait une erreur quelque part et je devais avoir 3/x(1-x) et -3/x je comprend pas d'ou sort ces division par.

Ou me suis je trompe dans mes calculs?

Posté par
carpediem
re : Série entiere 18-05-22 à 20:39

salut

peu lisible en voulant tout conserver alors qu'il suffit d'écrire :

\dfrac n {n + 2} = 1 - 2 \dfrac 1 {n + 1}

\sum_? \dfrac 1 {n + 1} x^n = \dfrac 1 x \sum_? \dfrac {x^{n + 1}} {n + 1} =\dfrac 1 x h(x)

or h'(x) = ... donc ...

à toi de voir ce qu'il faut à la place des points d'interrogation ...

Posté par
carpediem
re : Série entiere 18-05-22 à 20:40

et il est trivial de multiplier par 3 ou par 2 à la fin ...

Posté par
princesyb
re : Série entiere 18-05-22 à 21:42

Vous vous etes pas trompé ça devrait pas etre 1/n+2?

Posté par
princesyb
re : Série entiere 18-05-22 à 22:00

\sum_{n>=0}^{}{}\frac{3n}{n+2}x^n= \sum_{n>=0}^{}{} 3(1-\frac{2}{n+2})x^n
=3(\sum_{n>=0}^{}{x^n } -\sum_{n>=0}^{}\frac{2}{n+2}x^n)
3(\sum_{n>=0}^{}{x^n } -\frac{2}{x^2}\sum_{n>=0}^{}\frac{x^n^+^2}{n+2})

Posté par
carpediem
re : Série entiere 18-05-22 à 22:19

oui bien sûr ...

carpediem @ 18-05-2022 à 20:39

\dfrac n {n + 2} = 1 - 2 \dfrac 1 {n + 2}

\sum_? \dfrac 1 {n + 2} x^n = \dfrac 1 {x^2} \sum_? \dfrac {x^{n + 2}} {n + 2} =\dfrac 1 {x^2} h(x)

or h'(x) = ... donc ...

à toi de voir ce qu'il faut à la place des points d'interrogation ...

Posté par
lafol Moderateur
re : Série entiere 18-05-22 à 22:56

bonjour
quel étrange énoncé qui demande le développement en série entière d'une série entière ... et quelle étrange manière d'y répondre en faisant disparaître toute trace d'une série...
Ce serait bien d'être capable de faire la différence entre "développer en série entière" et "calculer la somme de la série", non ?

Posté par
princesyb
re : Série entiere 19-05-22 à 05:42

Ah oui vous avez raison c'est calculer les sommes et non développer en série entière désolé

En suivant votre méthode carpediem mon h(x)=\sum_{n>=0}^{}{\frac{x^n^+^2}{n+2}}


Bon Jd sais pas ça sert à quoi de faire le dérivée mais z'allons y
h'(x)=\sum_{n>=0}^{}{\frac{(n+2)x^n^+^1-2 x^n^+2}{(n+2)^2}}

Posté par
carpediem
re : Série entiere 19-05-22 à 08:11

quand j'écris h(x) = 2x + n c'est qui la variable ?

donc h'(x) = ... ?

Posté par
princesyb
re : Série entiere 19-05-22 à 08:33

\frac{(n+2)^2x^n^+^1}{(n+2)^2}=x^n^+^1
h'(x)=\sum_{n>=0}^{}{x^n^+^1}

Posté par
lake
re : Série entiere 19-05-22 à 15:50

Bonjour,

  

Citation :
h'(x)=\sum_{n>=0}^{}{x^n^+^1}


Je n'ai pas regardé les détails (qui comptent !) mais tu sais calculer cette dernière somme.
Et il suffira d'intégrer pour obtenir h(x) quitte à déterminer la constante d'intégration.

Autre chose : il est quand même conseillé, avant tout calcul, de déterminer le rayon de convergence de ta série entière.
A terme, il faudra voir ce qui se passe aux bornes mais aussi en 0.

Pour information, j'avais obtenu :

  f(x)=\dfrac{3(x-2)}{x(x-1)}+\dfrac{6\,\ln(1-x)}{x^2} sur un intervalle que tu dois déterminer en regardant de très près ce qui se passe en 0.

Posté par
princesyb
re : Série entiere 19-05-22 à 18:21

Ah oui je l'ai déja fait,elle vaut 1
oui h'(x)=\frac{x}{1-x}
h(x)=\int \frac{x}{1-x}=-x-ln(1-x)

princesyb @ 18-05-2022 à 22:00

\sum_{n>=0}^{}{}\frac{3n}{n+2}x^n= \sum_{n>=0}^{}{} 3(1-\frac{2}{n+2})x^n
=3(\sum_{n>=0}^{}{x^n } -\sum_{n>=0}^{}\frac{2}{n+2}x^n)
3(\sum_{n>=0}^{}{x^n } -\frac{2}{x^2}\sum_{n>=0}^{}\frac{x^n^+^2}{n+2})


Donc on a 3\sum_{n>=0}^{}{x^n } -\frac{6}{x^2}(  -x-ln(1-x) )  )

= \frac{3}{1-x} -\frac{6}{x^2}(  -x-ln(1-x) )  )
= \frac{3}{1-x} +\frac{6}{x}+ \frac{6ln(1-x)}{x^2}
Moi j'ai trouvé cci ou me suis je trompé? j'arrive pas a savoir

Posté par
lake
re : Série entiere 19-05-22 à 18:31

Citation :
= \frac{3}{1-x} +\frac{6}{x}+ \frac{6ln(1-x)}{x^2}


Tu peux éventuellement réduire au même dénominateur \dfrac{3}{1-x}+\dfrac{6}{x} et regarder ce que ça donne.

Mais des questions restent entières : le rayon de convergence ? Le domaine où la fonction est correcte ? Ce qui se passe en 0 ?

Posté par
princesyb
re : Série entiere 19-05-22 à 20:42

Ah ok donc on a \frac{3x+6-6x}{x(1-x)}=\frac{-3x+6}{x(1-x)}


je trouve pas comme vous et pourtant j suis  sur que mes calculs sont bons
Le rayon de convergence il vaut 1

Domaine de convergence
Pour  x=1 on a divergence et pour x=-1 on a convergence donc le domaine est[-1,1]

En 0 bein 0^n=0 toute la fonction vaudra 0

Posté par
lake
re : Série entiere 19-05-22 à 21:03

Citation :
je trouve pas comme vous


Regarde de plus près

Citation :
En 0 bein 0^n=0 toute la fonction vaudra 0


La fonction f :x\mapsto \dfrac{3(x-2)}{x(x-1)}+\dfrac{6\,\ln(1-x)}{x^2} n'est pas définie en 0
Il faut donc "regarder de plus près" encore une fois.

Posté par
princesyb
re : Série entiere 19-05-22 à 21:28

Ah ok je vois c'est maintenant ok j'ai trouvé comme vous
Je pensais que pour le 0 on devais regarder \sum_{n>=0}^{}{\frac{3n}{n+2}}  mais il fallait regarder la valeur de la somme ok je comprends,oui il n'est pas définie en 0 effectivement.Mais ca sert à quoi de faire tout ca?
Regarder le rayon de convergence et le domaine?

Posté par
lake
re : Série entiere 20-05-22 à 01:33

Citation :
Mais ca sert à quoi de faire tout ca?


Que répondre ?
Tu as une série entière qui correspond à une certaine fonction.
Qui dit fonction ou série entière nécessite un domaine de définition (commun) pour qu'il y ait identité sur les deux formes.
En es-tu convaincu ?

Posté par
princesyb
re : Série entiere 20-05-22 à 07:52

ok oui c'est bon je suis convaincu

Une derniere chose,je voulais savoir esce correct si on a:
6\sum_{n>=0}^{}{\frac{x^n}{n+2}}

de dire cque c'est égal à:6(\sum_{n>=1}^{}{\frac{x^n}{n+2}}+\frac{x^0}{0+2})=6(\sum_{n>=1}^{}{\frac{x^n}{n+2}}+\frac{1}{2})

1/2 le terme en 0

Posté par
lake
re : Série entiere 20-05-22 à 08:45

Oui mais encore une fois pour certaines valeurs de x.

Par exemple, pour x=2, tes sommes n'ont aucune signification.

Posté par
princesyb
re : Série entiere 20-05-22 à 09:27

Pourquoi ça ne marche pas pour tous les x pourtant en général pour les sommes si on sort le 1re terme et qu.on augmente l'indice de la somme de 1 ça marche en général

Posté par
lake
re : Série entiere 20-05-22 à 10:46

Lorsque tu écris \sum_{n\geq 0} cela sous entend \sum_{n=0}^{\infty} : une série qui n'est pas toujours convergente.

Posté par
princesyb
re : Série entiere 20-05-22 à 14:02

Donc on peut décomposer en sortant le terme en 0 que si on a une série convergente ,c'est ça?

Et je vois pas du tout si on a la série de 0 à l'infini d'une fonction cela veut dire qu'elle n'est pas toujours convergente



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