Niveau Prepa (autre)

Serie entiere

Posté par
Math2022 16-12-23 à 09:53

salut .Pouvez vous m'aider sur cette question je bloque :
Soit $\sum_{n=0}^\infty a(n)$ une serie convergente mais non absolument convergente. Que dire du rayon de convergence
de la serie $\sum_{n=0}^\infty a(n)z^n$ ?

(Bornes Latex rajoutées)

Posté par re : Serie entiere 16-12-23 à 11:50

salut
*
qui sont les a(n) ?

Posté par re : Serie entiere 16-12-23 à 17:04

n est un indice pas plus

Posté par re : Serie entiere 16-12-23 à 17:35

nature (réel, complexe) ?

$\sum a_n = \sum a_n 1^n$

regardons alors $\sum a_n (r e^{it})^n$

très probablement il y a convergence sur le disque ouvert D(O, 1)

mais ailleurs ?

Posté par re : Serie entiere 16-12-23 à 21:20

Bonsoir

Notons $R$ le rayon de convergence de la série entière $\sum_{n\geqslant0}a_nz^n$

$\bullet$ La série $\sum_na_n$ étant convergente, on a $R\geqslant1$ car $\boxed{R=\sup\{|z|,z\in\mathbb C,\sum_na_nz^n~converge\}}$ .

$\bullet$ La série $\sum_n|a_n|$ étant divergente, on a $R\leqslant1$ car $\boxed{R=\sup\{|z|,z\in\mathbb C,\sum_na_nz^n~converge~absolument\}}$ .

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