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Série entière avec coefficient binomiaux

Posté par
Callisto
26-06-18 à 15:39

Bonjour,
Je bloque sur la question suivante :
Déterminer  :\sum^\infty _{n=k} \binom{n}{k} x^n
J'ai démontrer que le rayon de convergence était 1, faut-il que je la dérive pour faire apparaître une équation différentielle ?

Merci d'avance

Posté par
Camélia Correcteur
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 15:56

Bonjour

Faute de frappe? \binom{n}{k} n'est défini que pour k\leq n et ce n'est pas ce que tu mets dans ta somme!

Posté par
Glapion Moderateur
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 17:01

Oui, tu m'as l'air de t'être un peu emberlificoté dans tes notations ?

Le classique c'est d'étudier la fonction S_n(x)=\sum_ {k=1}^n \binom{n}{k} x^k
(pas trop dur vu qu'elle vaut (1+x)^n-1 de par la formule du binôme).

Mais est-ce bien ça ton énoncé ??

(et il faudra que nous précise pourquoi tu veux une équation différentielle ?)

Posté par
Callisto
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 17:37

Non il n'y a pas de faute de frappe , mon coefficient binomial est bien défini puisque n va de k à +oo donc k\le n

Posté par
Callisto
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 17:48

k est fixe dans ce cas

Posté par
pedestre
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 17:52

Bonjour. Sauf erreur:

\sum\limits_{n=k}^{+\infty}\begin{pmatrix} n\\k\end{pmatrix} x^{n}  =\dfrac{1}{k!}  \sum\limits_{n=k}^{+\infty}     n(n-1)...(n-k+1) x^n    =\dfrac{x^k}{k!}  \sum\limits_{n=k}^{+\infty}   \dfrac{d^{k}x^n  }{dx^k}         , alors ...

Posté par
carpediem
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 17:57

salut

est-ce l'énoncé complet ?

Posté par
Callisto
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 17:59

Oui presque , une question préliminaire me demandait de trouver le rayon de convergence

Posté par
etniopal
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 18:13

Le mieux serait de noter , pour chaque   k   , Yk la série formelle  \sum^\infty _{n=k} \binom{n}{k} X^n

Posté par
Callisto
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 18:29

Puisqu'il y a convergence unfiorme sur ]-1;1[ , j'échange la somme et dérivée ainsi je me retrouve avec /sum k=n_{/infty} x^n = /frac {x^k}{1-x} { que je dois dériver k fois ?

Posté par
Callisto
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 18:33

\sum_{ n=k}^ {\infty} x^k = \frac{x^k}{1-x} que je dois dériver k fois et multiplier par \frac {x^k}{k!} ?

Posté par
Callisto
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 19:25

De cette manière je trouve :

 \\ \begin{align}
 \\ & \sum_{n=k}^\infty \frac{n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!} x^{n-k}x^k \\[10pt]
 \\ ={} & \frac{x^k}{k!} \sum_{n=k}^\infty \frac{d^k}{dx^k} x^n \\
 \\ & \text{Pulling out $x^k/k!$ works because $k$ does not change as $n$ changes.} \\[10pt]
 \\ = {} & \frac{x^k}{k!} \, \frac{d^k}{dx^k} \sum_{n=0}^\infty x^n \\
 \\ & \text{This works because power series can be differentiated} \\
 \\ & \text{term by term. Here we need not start at $k$ since the} \\
 \\ & \text{derivatives of the first $k-1$ terms are $0.$} \\[10pt]
 \\ = {} & \frac{x^k}{k!} \, \frac {d^k}{dx^k} \, \frac 1 {1-x} = \frac{x^k}{k!} \, k!(1-x)^{-(k+1)} = \frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}.
 \\ \end{align}

Posté par
Callisto
re : Série entière avec coefficient binomiaux 26-06-18 à 19:33


 \\ 
 \\ \sum_{n=k}^\infty \frac{n(n-1)(n-2)... (n-k+1)}{k!} x^{n-k}x^k =  \frac{x^k}{k!} \sum_{n=k}^\infty \frac{d^k}{dx^k} x^n 
 \\ = {} \frac{x^k}{k!} \, \frac{d^k}{dx^k} \sum_{n=0}^\infty x^n 
 \\  \text{On peut différentier termes à termes car la série converge uniformément sur son rayon de convergence.} 
 \\  \text{On peut commencer à sommer à $n =0$ car les $k-1$ termes dérivés sont nuls.} 
 \\ =  \frac{x^k}{k!} \, \frac {d^k}{dx^k} \, \frac 1 {1-x} = \frac{x^k}{k!} \, k!(1-x)^{-(k+1)} = \frac{x^k}{(1-x)^{k+1}}.
 \\ 
 \\
Voilà la démarche pour ceux qui sont intéressé,
Merci de votre aide !

Posté par
pedestre
re : Série entière avec coefficient binomiaux 27-06-18 à 09:39

Oui, mais attention !  Que veux-tu dire exactement avec "la série converge uniformément sur son rayon de convergence "?
Si R est ce rayon (fini ou infini), il n'y a pas convergence uniforme pour |x|<R dans le cas général (l'affirmer est une grave erreur qui ne sera pardonnée par aucun professeur !), mais seulement sur tout compact (ou tout segment) inclus dans l'intervalle ]-R,+R[, ce qui est suffisant pour établir le théorème de dérivation des séries entières (revoir le cours à ce sujet serait sûrement utile).

Posté par
Callisto
re : Série entière avec coefficient binomiaux 27-06-18 à 10:49

Oui effectivement je vais relire le cours car j'ai du mal à saisir la nuance.



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