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série entière: rayon de convergence

Posté par
audreys18 24-10-07 à 18:17

bonjour,
Pouvez-vous m'aider pour calculer les rayon de convergence des séries suivantes:
1) \sum_{i=1}^\infty x^n/\sqrt{n}
soit an=1/\sqrt{n}
lim n->+ |an/an+1|= lim n->+ |\sqrt{n+1}/\sqrt{n}|=1
donc le rayon de convergence est égal à 1

2) \sum_{i=1}^\infty n^{\sqrt{n}} x^n
soit an= n^{\sqrt{n}}
lim n->+ |an/an+1|= lim n->+ |n^{\sqrt{n}}/(n+1)^{\sqrt{n+1}}|= lim n->+ |exp(\sqrt{n} ln(n)- \sqrt{n+1} ln(n+1))|
Je n'arrive pas a conclure car j'ai des formes indéterminées.

3) \sum_{i=1}^\infty (n+1)^n/(n!) x^n
soit an= (n+1)^n
lim n->+ |an/an+1|= lim n->+ |(n+1)^{n+1}/(n+2)^{n+1}|= lim n->+ |((n+1)/(n+2))^{n+1}|
j'ai le même problème que pour le deuxième exemple.
Pouvez vous m'aider?
merci d'avance pour vos réponses

Posté par
Tigweg Correcteurre : série entière: rayon de convergence 24-10-07 à 18:36

Bonjour audreys18,

écris


4$\sqrt n ln(n)-\sqrt{n+1}ln(n+1)=\sqrt n ln(n)-\sqrt{n+1}(ln(n)+ln(1+\frac 1n))=ln(n)[\sqrt n-\sqrt{n+1}]-\sqrt{n+1}ln(1+\frac 1n)



puis utilise


4$\sqrt a-\sqrt b=\frac{a-b}{\sqrt a+\sqrt b}

pour tous a et b positifs, cela lèvera l'indétermination


Pour la troisième, utilise le fait que pour tout réel a, on a :

4$\lim_{n\to\infty}(1+a)^n=e^a



Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : série entière: rayon de convergence 24-10-07 à 18:37

Pardon, je voulais dire, le fait que:


4$\lim_{n\to\infty}(1+\frac an)^n=e^a

Posté par
audreys18re : série entière: rayon de convergence 27-10-07 à 16:47

bonjour, j'ai refais le calcul du 2 mais j'ai toujours une indétermination:
limn-> |n^sqrt{n} / (n+1)^sqrt{n+1}|= limn->  |exp (n) ln(n)-(n+1) ln(n+1)| = limn-> |ln(n) sqrt{n} - sqrt{n+1}- sqrt{n+1} ln(n+1)| = limn-> |-ln (n)/(sqrt{n} + sqrt{n+1}) -sqrt{n} sqrt{1+1/n}  ln(1+1/n) |
que dois- je faire pour lever l'indétermination de sqrt{n} sqrt{1+1/n}  ln(1+1/n)?
merci d'avance pour vos réponses

Posté par
audreys18re : série entière: rayon de convergence 27-10-07 à 16:49

que dois- je faire pour lever l'indétermination de sqrt{n} sqrt{1+1/n} *ln(1+1/n)?

Posté par
audreys18re : série entière: rayon de convergence 27-10-07 à 16:52

pour la 3 je n'arrive pas a trouver quelque chose de la forme:
(1+a/n)^n
j'obtiens:
lim n-> |an/an+1|= lim n-> |exp ((n+1)*ln({n+1}/{n+2})|
Pouvez-vous m'aider?
merci pour vos réponses

Posté par
Tigweg Correcteurre : série entière: rayon de convergence 28-10-07 à 11:39

Bonjour,

pour le 2) je t'ai écris comment transformer l'exposant et lever l'indétermination après être passé à la forme eb.ln(a), pourquoi n'en as-tu pas tenu compte?

Je ne comprends pas tes calculs, d'une part pour des raisons de notation, d'autre part je crois qu'ils comportent des erreurs.

Enfin pour le 3), utilise ce que je t'avais dit, et le fait que \frac{n+1}{n+2}1+\frac a{n+2}

avec a=-1.

Tu te ramèneras ainsi à une forme (1+\frac a{n+2})^{n+1}

qui s'écrira sous la forme \frac{(1+\frac a{n+2})^{n+2}}{1+\frac a{n+2}.

Tu pourras donc bien utiliser le fait que \lim_{n\to\infty}(1+\frac a n)^n=e^a.



Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : série entière: rayon de convergence 28-10-07 à 11:40

Citation :
et le fait que \frac{n+1}{n+2}=1-\frac a{n+2}


pardon

Posté par
audreys18re : série entière: rayon de convergence 01-11-07 à 15:22

bonjour,
j'ai réussi à calculer le rayon de convergence du 3ieme exemple.
Pour le deuxième j'ai toujours une forme indéterminée, je vais essayer de remettre mes calculs.

\lim_{x\to +\infty} |a_{n}/a_{n+1}|= \\ \lim_{x\to +\infty}|e^{sqrt{n}ln(n)-sqrt{n+1}ln(n+1)}|= \\ \lim_{x\to +\infty} |e^{(sqrt{n}-sqrt{n+1})ln(n)-sqrt{n+1}ln(1/n+1)}|= \\ \lim_{x\to +\infty} |e^{(\frac{n-n-1}{sqrt{x}+sqrt{x+1}})ln(n)-sqrt{n+1}ln(1/n+1)}|= \\ \lim_{x\to +\infty} |e^{(\frac{-1}{sqrt{x}+sqrt{x+1}})ln(n)-sqrt{n+1}ln(1/n+1)}|= \\ \lim_{x\to +\infty} |e^{(\frac{-1}{sqrt{x}})ln(n)- (\frac{-1}{sqrt{x+1}})-sqrt{n+1}ln(1/n+1)}| \\ ma forme indéterminée est : sqrt{n+1}ln(1/n+1) \Longrightarrow 0*\infty \\ \\
Quelles modifications puis-je faire sur ce terme pour lever l'indétermination?
merci pour vos réponses

Posté par
audreys18re : série entière: rayon de convergence 01-11-07 à 15:23

la forme indéterminée est \sqrt{n+1}ln(1+1/n) => 0*\infty

Posté par
Cauchyre : série entière: rayon de convergence 01-11-07 à 15:27

Bonjour,

utilise un développement limité de ln(1+1/n).

Posté par
audreys18re : série entière: rayon de convergence 01-11-07 à 15:37

merci

Posté par
audreys18re : série entière: rayon de convergence 01-11-07 à 15:45

j'ai une dernière question:
soit an une suite de réels telle que limn->+\infty an=1.
Montrer que le rayon de convergence de \sum_{n=1}^\infty a_n x^n est égale à 1.

si limn->+\infty an=1 alors limn->+\infty an+1=1.
donc limn->+\infty |an/an+1|=1/1=1.
le rayon de convergence de la série est égale à 1.
Est ce juste?
merci d'avance pour vos réponses.

Posté par
Cauchyre : série entière: rayon de convergence 01-11-07 à 19:03

Oui ça marche il faut préciser qu'on peut diviser à partir d'un certain rang car a(n) tend vers 1.

Posté par
audreys18re : série entière: rayon de convergence 01-11-07 à 19:26

merci pour ton aide

Posté par
Cauchyre : série entière: rayon de convergence 01-11-07 à 20:08

De rien


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