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Niveau maths spé
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Série et comparaisons

Posté par
ElGerrothorax
14-10-21 à 19:12

Bonsoir à tous et à toutes,

Je fais face à un exercice de séries assez théorique qui me pose problème. Ce chapitre étant une nouveauté, j'ai un peu de mal à me sortir de cet exercice... étudier la nature d'une série et calculer des valeurs de somme ne me pose pas trop de problème mais ici c'est une autre histoire. Voici mon énoncé:

[b]Soit (vn) une suite de réels >0 telle que lim (n->+inf) \frac{vn+1}{vn}=\lambda avec \lambda \in R+ ou \lambda =+inf


1. (a) Si \lambda <1 montrer qu'il existe a<1 et Na tels que n\geq Na\Rightarrowvn+1\leqavn


(je ne met pas la suite du sujet pour le moment car je pense qu'une fois la première question faite je pourrai me débrouiller après)

Voici mes pistes de réflexion :
Si \frac{vn+1}{vn} -> \lambda
\lambda
alors il existe \varepsilon tel que \lambda -\varepsilon \leq \frac{vn+1}{vn}\leq \lambda +\varepsilon
d'où vn+1\leq (\lambda +\varepsilon )vn
ça me paraît être le seul moyen d'y arriver, mais le problème c'est que j'ai du mal à justifier ce résultat; si lambda<1 alors la suite (vn) est décroissante mais je ne vois pas ce que l'on peut en faire.
Cette question me fait aussi penser à ce qu'on avait fait avec les équivalents où on détermine un epsilon usuel=1/2 mais on a tellement peu d'information sur la suite que je sèche un peu.

Toute aide est la bienvenue, je vous remercies d'avoir lu mon message jusqu'au bout et vous souhaite une bonne soirée!

Posté par
carpediem
re : Série et comparaisons 14-10-21 à 19:32

salut

pour éviter des lettres grecs notons k ce rapport ...

si \lim \dfrac {v_{n + 1}}{v_n} = k < 1 alors il existe N > 0 tel que :pour tout n >= N :\dfrac {v_{n +1}} {v_n} < q avec k \le q < 1

on peut prendre par exemple q = \dfrac {k + 1} 2 ...

avec tes il suffit de prendre q = k + \epsilon

Posté par
ElGerrothorax
re : Série et comparaisons 16-10-21 à 14:51

Bonjour,
désolé pour la réponse tardive, merci beaucoup pour la réponse c'est très clair!
Je me permet de mettre la suite de mon sujet, car j'ai d'autres questions qui me posent problème.

(b) En déduire que la série \Sigma un converge
remarque: on peut aussi démontrer que toute série exponentielle converge
Pour cette question, je pense que l'on peut justifier selon notre démonstration précédente que q<1 donc la série des a vn devrait converger (comme série géométrique à raison<1? Cela me paraît juste même si ce n'est pas tout à fait la définition des suites géométriques, après en passant par la suite des sommes partielles ça paraît légitime) donc par critère de comparaison de séries à termes positifs la série des vn+1 converge? Cela ne me paraît pas très rigoureux mais je ne vois pas comment utiliser autrement notre égalité et pour déterminer la convergence/divergence d'une série en BCPST on a que le CCSTP.
En revanche je connais un peu près la démonstration citée en remarque, mais je ne vois pas par quelle étape passer dans le sens où on n'a pas vraiment de renseignement. peut on poser arbitrairement  vn=x^n/n! ?

2.Si \lambda est un réel fini >1, montrer que la série \Sigma vn diverge.

on a donc \frac{vn+1}{vn}=k>1
Je me suis dit que si vn+1/vn -> \lambda alors il existe un epsilon tel que: -\varepsilon + \lambda \leq \frac{vn+1}{vn}\leq \varepsilon +\lambda
d'où (\lambda -\varepsilon *vn\leq vn+1
\Rightarrow vNa*\alpha^{n-Na}\leq vn+1
avec alpha>1 donc après on peut appliquer le critère de comparaison et dire que vn+1 diverge. Est ce que cela paraît juste ?

3.Enoncer et démontrer un résultat semblable pour\lambda =+inf
Là par contre aucune idée :/ Il me reste 2 questions après mais je vais déjà m'occuper de celles ci et ces questions sont des applications globalement.

Merci d'avance et bonne journée.

Posté par
carpediem
re : Série et comparaisons 16-10-21 à 16:19

je ne sais pas ce qu'est le CCSTP en BCPST ... PTM'ESTP ?

c'est l'idée ... mais ça manque de rigueur ...

remarquer que \sum_0^{+\infty} v_n = \sum_0^N v_n + \sum_{N + 1}^{+\infty} v_n}  

2/ on dirait que tu n'as rien appris de ma première réponse !!!

arrête avec des encadrements : ce qui nous intéresse c'est une majoration en 1/ et une minoration en 2/

on fait de même donc si k >1 alors pour n suffisamment grand il existe  q > 1 tel que 1 < q < k et v_{n + 1} > qv_n

3/ si k \to +\infty alors il existe N tel que pour n >= n : k > 10 par exemple !!! et cela est suffisant pour conclure d'après ce qui précède !!!

Posté par
ElGerrothorax
re : Série et comparaisons 16-10-21 à 18:10

Pardon pour les abréviations c'est une mauvaise habitude , par CCSTP j'entends Critère de Comparaison de Séries à Termes Positifs et BCPST c'est le nom de ma filière (math sup-spé bio)!
En effet pour la 2) c'est plus simple de faire ça comme ça, mais pour décrire la nature de la série je n'ai pas bien compris pourquoi il est intéressant de séparer la série grâce au reste, un comparaison comme j'avais écrit avec les termes  d'un suite géométrique ne suffit-elle pas?
En partant du résultat de la question 1(a), on a :
\sum_{0}^{+inf}{(vn+1)}\leq \alpha \sum_{0}^{+inf}{vn}=\alpha\sum_{0}^{N}{vn}+\alpha \sum_{N+1}^{+inf}{vn}
Qu'en dire?
Pour moi les propriétés "utiles" du reste ne sont utilisable qu'une fois qu'on a montré que la série est converge (et donc que Rn->0 quand n->+inf).

Pour la 3) je pense avoir compris,

Merci beaucoup pour toute cette aide, sincèrement.

Posté par
carpediem
re : Série et comparaisons 16-10-21 à 19:41

carpediem @ 16-10-2021 à 16:19

remarquer que S = \sum_0^{+\infty} v_n = \sum_0^N v_n + \sum_{N + 1}^{+\infty} v_n} \le s + v_{N + 1} \sum_0^{+\infty} q^n


s est une somme finie donc est finie ...

Posté par
ElGerrothorax
re : Série et comparaisons 17-10-21 à 17:36

Salut carpediem,
C'est bon j'ai compris, c'est effectivement beaucoup plus simple de faire ça comme ça, même si je pense qu'une reccurence immédiate avec une série géométrique pourrait aussi faire l'affaire?(un critère de comparaison de serie a terme positifs)! Merci encore pour l'aide, j'ai un peu galéré avec les minorations/majorations au début mais maintenant j'ai bien compris
Bonne journée

Posté par
carpediem
re : Série et comparaisons 17-10-21 à 18:05

de rien ... même si je ne vois pas où intervient une récurrence ...



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