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Série numérique

Posté par
Endrews 25-05-17 à 15:48

Bonjour,

Il y a un exercice dont je ne vois pas comment commencer, que voici :

On pose Sn = allant de 1 à n de 1/n²

a) Montrer que pour tout k >= 1 :
          1/(k+1)^2 allant de k à k+1 de 1/t² dt 1/k²

b) En déduire que n 1 :
          1- 1/n +1/n² Sn 2-1/n

Puis que la série 1/n² converge.

Pouvez-vous me guider pour le début ?

Merci et bien cordialement,

Endrews

Posté par
Camélia Correcteurre : Série numérique 25-05-17 à 16:08

Bonjour

D'abord ton énoncé n'est certainement pas \sum_1^n\frac{1}{n^2} (ceci vaut 1/n)

En admettant que c'est \sum_1^n\frac{1}{k^2}.

Pour la première question, remarque que \dfrac{1}{(k+1)^2}=\int_k^{k+1}\dfrac{1}{(k+1)^2}\,dt

Posté par
Endrewsre : Série numérique 25-05-17 à 16:15

Oups oui effectivement petite erreur de notation de ma part!

Posté par
gerrebare : Série numérique 25-05-17 à 16:17

Bonjour,
Si k<=t<=k+1   alors   1(k+1)²<=1/t²<=1/k² (d'où l'encadrement sur [k;k+1]
Cette inégalité se reproduit de k=1 à k=n....

Posté par
Endrewsre : Série numérique 25-05-17 à 16:20

Cependant ce n'est pas écrit que k<= t...

Posté par
Endrewsre : Série numérique 25-05-17 à 16:21

Camélia, je ne comprends pas votre remarque ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Série numérique 25-05-17 à 16:26

Eh bien, gerreba t'a donné la piste! Intègre de k à k+1 les trois termes de l'inégalité qu'il a écrite!

Posté par
Endrewsre : Série numérique 25-05-17 à 17:03

je remplace les k par des t dans l'intégrale ?

Posté par
Endrewsre : Série numérique 25-05-17 à 17:07

Juste pour savoir si le fait d'écrire une intégrale de k à k+1 d'une fonction de k est bien exact !

Posté par
Endrewsre : Série numérique 25-05-17 à 17:08

Et en ce qui concerne la question b ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Série numérique 25-05-17 à 17:08

Non, tu écris que
\\ \int_k^{k+1}\dfrac{dt}{(k+1)^2}\leq \int_k^{k+1}\dfrac{dt}{t^2}\leq \int_k^{k+1}\dfrac{dt}{k^2}

Posté par
alb12re : Série numérique 25-05-17 à 17:20

salut, petite astuce pour agrandir le symbole somme

\\ \begin{aligned} \\ \int_k^{k+1}\dfrac{dt}{(k+1)^2}\leq \int_k^{k+1}\dfrac{dt}{t^2}\leq \int_k^{k+1}\dfrac{dt}{k^2} \\ \end{aligned} \\

Pour les puristes:

\\ \begin{aligned} \\ \int_k^{k+1}\dfrac{\mathrm{d}t}{(k+1)^2}\leqslant \int_k^{k+1}\dfrac{\mathrm{d}t}{t^2}\leqslant \int_k^{k+1}\dfrac{\mathrm{d}t}{k^2} \\ \end{aligned} \\

Posté par
Endrewsre : Série numérique 25-05-17 à 17:21

D'accord merci, et de quoi dois-je déduire pour la question b ?

Posté par
Camélia Correcteurre : Série numérique 25-05-17 à 17:22

Merci alb12. Je veux bien agrandir mes intégrales, mais le d est un peu too much pour moi!

Posté par
Camélia Correcteurre : Série numérique 25-05-17 à 17:24

Endrews Tu écris toutes ces inégalités, de k=1 à k=n et tu fais la somme.

Posté par
Endrewsre : Série numérique 25-05-17 à 17:36

Je suis désolé mais je ne vois pas exactement de quoi il est question avec des "phrases" ..

Posté par
Camélia Correcteurre : Série numérique 26-05-17 à 17:27

Quand tu fais la somme tu trouves

\sum_{1}^{n}\dfrac{1}{(k+1)^2} \leq \begin{aligned} \int_1^{n+1} \dfrac{dt}{t^2} \end{aligned} \leq \sum_1^n\dfrac{1}{k^2}

Le premier terme vaut S_{n+1}-1 et le dernier S_n. Je te laisse finir!

Posté par
Endrewsre : Série numérique 28-05-17 à 16:32

Merci, j'ai cherché mais je ne vois pas quoi déduire pour répondre à la question..

Posté par
Camélia Correcteurre : Série numérique 28-05-17 à 16:40

Maintenant tu devrais avoir la solution. Dernière indication: les inégalités écrites montrent que

\begin{aligned}\int_1^{n+1}\dfrac{dt}{t^2}\end{aligned}\leq S_n\leq 1+\begin{aligned}\int_1^{n}\dfrac{dt}{t^2}\end{aligned}

Il te reste à calculer les intégrales.

Posté par
Endrewsre : Série numérique 28-05-17 à 16:43

J'ai bien calculer les intégrales.

Mais juste ce que je voudrais savoir c'est le terme de droite dans votre inégalité, d'où provient-il ?

Posté par
Endrewsre : Série numérique 28-05-17 à 16:44

Car le Sn était tout à droite et maintenant il se retrouve au milieu

Posté par
Camélia Correcteurre : Série numérique 28-05-17 à 16:48

J'ai remplacé S_{n+1}-1 par S_n-1 et je l'ai majoré par l'intégrale correspondante!

Posté par
Endrewsre : Série numérique 28-05-17 à 16:55

Il me semble avoir saisi.. Merci !


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