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Série numérique

Posté par
scoatarin 23-07-17 à 09:48

Bonjour,

Merci de m'aider à résoudre l'exercice suivant:

Exercice 1.  Parmi les séries suivantes, lesquelles sont convergentes ? respectivement divergentes ? Justifier vos réponses.

1.    \frac{\sqrt{n+1}  +  \sqrt n}{n^2}


2.   \frac {2^n (n^2 + 1)}{3^n + 1}

3.   \frac{  1 - cos(\frac{1}{n})}{\frac{1}n{}}

4.   \frac{ ln(n)}{n^2}.

Posté par
larrechre : Série numérique 23-07-17 à 11:08

Bonjour,

Il faut essayer de proposer quelque chose. Ce sont des séries à termes positifs.
Pour les trois premières au moins  je rechercherais des équivalents simples du TG. Pour la dernière j'essaierais une majoration.

Posté par
scoatarinre : Série numérique 23-07-17 à 12:30

1. le TG est équivalent à  \frac{1}{n^(3/2) }  et  3/2 > 1 donc, d'après la règle de Riemann, cette série est convergente.

2. le TG est équivalent à (3/2)^n et 3/2 < 1 donc la série proposée est de même nature qu'un série géométrique convergente, donc par comparaison de série de même nature, la série proposée est également convergente.

3. Au voisinage de l'infini, cos(x) est équivalent à 1 - \frac{x^2}{2!}
cos(1/n) est éqivalent à 1 -  \frac{(1/n)^2}{2!}
donc le TG de la série proposée est équivalent à 1/n, TG d'une série divergente, donc la série proposée est divergente.

4.   

Posté par
larrechre : Série numérique 23-07-17 à 12:55

1/ et 3/ , OK.

Par contre pour 2/, le TG est équivalent à   (\frac{2}{3})^n n^2. Montrer que c'est le TG d'une série convergente.

Pour 4/ , montrer par exemple que   ln(n)<\sqrt{n}

Posté par
scoatarinre : Série numérique 23-07-17 à 13:38

2. D'après le test de d'Alembert, la limite sup quand n tend vers l'infini du quotient

\frac{3}{2} \frac {(n+1)²} {n^2} est supérieur à 1 , donc la série de TG    (\frac{3}{2})^n n^2 diverge.

Posté par
larrechre : Série numérique 23-07-17 à 13:52

Pourquoi   \frac{3}{2} ? C'est  \frac{2}{3}, non ?

Posté par
scoatarinre : Série numérique 23-07-17 à 14:33

Tu as raison, je me suis encore trompé

2. D'après le test de d'Alembert, la limite sup quand n tend vers l'infini du quotient

\frac{2}{3} \frac {(n+1)²} {n^2} est inférieure à 1 , donc la série de TG    (\frac{2}{3})^n n^2 converge, et par équivalence de séries à termes positifs, la série proposée est donc convergente.

Posté par
larrechre : Série numérique 23-07-17 à 15:32

Oui. Reste la dernière.

Posté par
scoatarinre : Série numérique 23-07-17 à 16:20

4.   \lim  n \rightarrow+ \infty  n^{\frac{3}{2}} \frac{ln(n)}{n^2} = \lim  n \rightarrow+ \infty  \frac{ln(n)}{\sqrt n} = 0 :   la série converge donc.

Posté par
larrechre : Série numérique 23-07-17 à 16:38

Oui.

Posté par
scoatarinre : Série numérique 23-07-17 à 17:03

Je te remercie vivement ,larrech,  de  ton aide soutenue qui m'a permis de résoudre rapidement ce type d'exercice classique en L2 maths.

Bonne soirée  

Posté par
larrechre : Série numérique 23-07-17 à 17:07

Bonne soirée scoatarin

Posté par
scoatarinre : Série numérique 22-09-17 à 13:36

Bonjour,

larrech @ 23-07-2017 à 12:55



Par contre pour 2/, le TG est équivalent à   (\frac{2}{3})^n n^2. Montrer que c'est le TG d'une série convergente.

Je ne suis pas d'accord car d'après le test de d'Alembert,  je trouve un rapport des termes > 1, donc que la série de TG     (\frac{2}{3})^n n^2 diverge..

Merci de me dire si ma conclusion est juste ?

Posté par
luzakre : Série numérique 22-09-17 à 14:31

Bonjour !
Petite erreur pour le 1 : \dfrac1{n^{3/2}} n'est as un équivlanet.

Pour le 2. on a déjà écrit v_n=\bigl(\frac23\bigr)^n\,n^2\implies\dfrac{v_{n+1}}{v_n}=\dfrac23\,\dfrac{(n+1)^2}{n^2}. Où vois-tu une limite supérieure à 1 ?

Posté par
scoatarinre : Série numérique 22-09-17 à 14:58

Bonjour luzak !,

Pour le 1, comment faire alors ?

Pour le 2, je me suis trompé: la limite est bien inférieure à 1.

Cependant, le calcul des  3 premiers termes de la série de terme général   (\frac{2}{3})^{n} n^{2} donne : 6/9, 16/9 et 24/9 pour n valant respectivement 1, 2 et 3, ce qui semble montrer que le terme général ne tend pas vers 0 quand n tend vers l'infini, donc d'une série grossièrement divergente. Ou est mon erreur   

Posté par
larrechre : Série numérique 22-09-17 à 14:59

Salut scoatarin

Pourquoi tu me cites pour me faire dire ce que je n'ai pas dit ?? Je sais que je me trompe parfois, mais quand même, pas très correct.

Posté par
scoatarinre : Série numérique 22-09-17 à 15:05

Salut larrech,

Tout le monde peut se tromper.

Je regrette de t'avoir cité et te demande de bien vouloir m'excuser pour cette fois.

Avec tout mon respect. Jean   

Posté par
larrechre : Série numérique 22-09-17 à 15:10

OK, sans rancune. Tu vois je n'avais pas relevé que pour la 1/ il y avait un coeff 2 qui se baladait...
luzak a rectifié.

Posté par
scoatarinre : Série numérique 22-09-17 à 16:13

Pour la question 1):

Cette série est à termes positifs.

L'équivalent du terme général de la série est \frac{2}{n^{\frac{3}2{}}}, or  \frac{1}{n^{\frac{3}2{}}} est le terme général d'une série de Riemann convergente car 3/2 > 1, donc la série de terme général  \frac{2}{n^{\frac{3}2{}}} est convergente. Comme elle est à termes positifs et de même nature que la série à étudier, par comparaison, on peut en déduire que la série(   \frac{\sqrt{n+1}  +  \sqrt n}{n^2}) est convergente.

C'est bon maintenant ?
  

Posté par
luzakre : Série numérique 22-09-17 à 18:07

Ce n'est pas en regardant trois termes que tu peux établir qu'une suite ne converge pas vers 0.

A. Tu devrais avoir confiance dans la condition suffisante de d'Alembert : si \dfrac{v_{n+1}}{v_n} a une limite inférieure à 1, la série  est convergente donc la limite de la suite est nulle.

B. Procède correctement pour établir directement que la suite n\mapsto\bigl(\frac23\bigr)^n\,n^2 converge vers 0. Indication : comparaison d'une puissance et d'une exponentielle.

Posté par
scoatarinre : Série numérique 22-09-17 à 18:58

(\frac{3}2{)^{n}}  n^2 = n² en(ln2 - ln3)

or u =ln2 - ln3 < 0

donc la forme exponentielle est de la forme n² en u avec u négatif,

Comme la fonction exponentielle l'emporte sur la fonction puissance, cette expression tend vers 0 ce qui entraîne que  la suite n\mapsto\bigl(\frac23\bigr)^n\,n^2 converge vers 0.

Posté par
luzakre : Série numérique 22-09-17 à 21:57

Tu peux directement utiliser la comparaison dès qu'un produit a^x\,x^{\alpha} présente une forme indéterminée 0\times\infty (ou \infty\times0) sans revenir à l'exponentielle de base e.
Mais ta démonstration est correcte à part le "...l'emporte..." que je trouve abominable...

Posté par
scoatarinre : Série numérique 23-09-17 à 08:28

Bonjour luzak,

Merci beaucoup pour ce raccourci qui peut faire gagner un temps précieux pendant un contrôle, un partiel ou un examen.

Si je remplace l'expression "l'emporte" par "domine", cela est-il mieux ?  

Posté par
luzakre : Série numérique 23-09-17 à 09:58

Ce que je disais c'est une question de "goût" (et toute discussion devient impossible).

"domine" ou "est prépondérante" me paraissent mieux.

Posté par
scoatarinre : Série numérique 23-09-17 à 10:47

OK luzak, encore merci et bonne journée  


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