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Série numérique

Posté par
ouerdia0903 19-10-18 à 11:33

Bonjour,
J'etais Entrain de faire un vrai/faux sur les séries numériques et je suis tombée sur la proposition suivante
Soit Un une série numérique
Si Un converge alors Un.(-1)^n.
Et je n'arrive ni à montrer qu'elle est vraie ni à trouver un contre exemple.
Si quelqu'un pouvait m'aider à aboutir à quelque chose
Merci.

Posté par
processusre : Série numérique 19-10-18 à 11:42

Bonjour moi personnellement j'ai du mal à comprendre ton énoncé

Posté par
processusre : Série numérique 19-10-18 à 11:43

Si \sum{U_n}
Converge alors ?

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 19-10-18 à 11:52

Bonjour, contre exemple alors :
la série de terme général (-1)n/n converge (par le critère de convergence des séries alternées par exemple) mais la serie de terme général (-1)n(-1)n/n = 1/n diverge (la série harmonique)

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 19-10-18 à 11:59

Pardon pardon je me suis trompée
C'est
Si Un converge alors Un2(-1)nconverge

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 19-10-18 à 12:12

Là c'est vrai. La série de terme général (-1)nUn² est une série alternée. Utilise le critère de convergence des séries alternées (règle de Leibniz) !

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 19-10-18 à 12:16

Mais pour utiliser Leibniz il faut que Un2 soit décroissante chose qu'on ignore

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 19-10-18 à 13:28

On sait que la série de terme général Un converge donc Un tend vers 0 et donc Un² aussi. ça suffit pour utiliser le théorème.

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 19-10-18 à 13:34

Vous parlez bien du théorème de leibniz car à ma  connaissance les conditions pour que (-1)n .Un soit convergente sont
Un >=0
(Un) décroissante selon n
Un tend vers 0

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 19-10-18 à 17:03

oui tu as raison, il faut que la suite soit décroissante et ici on est pas sûr que les un² sont décroissants (et même ils ne le sont pas forcement).
Il va falloir trouver autre chose.

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 19-10-18 à 17:22

on ne sait rien sur les un dans l'énoncé ?
Par exemple que la série des un converge absolument ?
ou que les un sont positifs ?

sinon ça aurait été assez simple :
Si la série des un converge alors un tend vers 0 donc à partir d'un certain rang un < 1 un² < |un| et donc la série des un² converge aussi (à condition que les un converge absolument ou soient à valeurs positives).
ça veux dire que si on cherche un contre exemple, il faudra prendre une série avec des termes donc les signes varient et dont la série des valeurs absolue diverge.

Après reste à montrer que (-1)nun² converge aussi.
c'est facile, la série converge absolument donc la série alternée aussi.

Posté par
carpediemre : Série numérique 19-10-18 à 18:19

salut

si \sum u_n converge alors u_n \to 0 donc |u_n| < 1 APCR

et alors on a évidemment |u_n^2| \le |u_n|



et il n'y a aucune condition sur u_n puisque par définition u_n = \sum_0^n u_k - \sum_0^{n - 1} u_k

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 19-10-18 à 19:26

oui mais les |un| ne convergent pas forcement, c'est ça qui me faisait sécher.

Posté par
carpediemre : Série numérique 19-10-18 à 19:40

ben si u_n tend vers 0 il me semble que c'est pareil pour leur valeur absolue ...

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 19-10-18 à 19:57

Certes, mais c'est pas parce que le terme général d'une série tend vers 0 que la série converge.

Posté par
carpediemre : Série numérique 19-10-18 à 20:08

je n'ai jamais dit ça !!

je dis simplement qu'on a toutes les hypothèses pour prouver que

ouerdia0903 @ 19-10-2018 à 11:59

Si Un converge alors Un2(-1)nconverge
...

bien sur ce n'est pas gratuit !!!

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 19-10-18 à 20:15

On sait juste que Un converge rien d'autre
Désolée carpediem mais je n'ai pas compris votre solution

Posté par
carpediemre : Série numérique 19-10-18 à 20:22

carpediem @ 19-10-2018 à 18:19

salut

si \sum u_n converge alors u_n \to 0 donc |u_n| < 1 APCR

et alors on a évidemment |u_n^2| \le |u_n| \red \to 0



et il n'y a aucune condition sur u_n puisque par définition u_n = \sum_0^n u_k - \sum_0^{n - 1} u_k
de plus et trivialement |u_n^2| = u_n^2 ...

Posté par
mousse42re : Série numérique 19-10-18 à 20:26

Salut
moi aussi je suis curieux, je ne vois pas non plus ce que carpediem veut dire puisque on ne sait rien sur \sum|u_n|  

Posté par
carpediemre : Série numérique 19-10-18 à 20:33

mais bon sang on en a rien à foutre de cette série !!!


\sum u_n converge => u_n \to 0 \iff |u_n| \to 0 => \exists N  /  n > N => |u_n| \le 1

or |u_n| \ge 0  donc la suite (|u_n|)_n est positive et donc décroissante

et APCR u_n^2 \le |u_n| \le 1 donc la suite u_n^2(-1)^n vérifie le critère des séries alternées ...

Posté par
mousse42re : Série numérique 19-10-18 à 20:53

J'ai pas compris comment tu déduis qu'elle est décroissante

Posté par
mousse42re : Série numérique 19-10-18 à 20:59

par exemple  un exemple tordu :

\left|\dfrac{\cos\frac{10n\pi}{2}}{n}\right| avec n=6  donne 0.01 et n=7 donne 0.04

Posté par
carpediemre : Série numérique 19-10-18 à 21:19

oui j'y ai pensé en fait après avoir posté ...

en fait la suite est "globalement" décroissante ou disons décroissante par paquet

et tout ce qui précède le dernier donc est vrai

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 19-10-18 à 23:08

Mais est ce que le fait qu'elle soit « globalement » nous garantit qu'elle est convergente ?

Posté par
luzakre : Série numérique 19-10-18 à 23:35

Bonsoir !
La série \sum\dfrac{\cos(n\pi/2)}{\sqrt n} est convergente mais pas \sum\dfrac{(-1)^n\cos^2(n\pi/2)}n puisque \dfrac{(-1)^n\cos^2(n\pi/2}n=\dfrac{(-1)^n}2\;\dfrac{1+\cos(n\pi)}n

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 19-10-18 à 23:38

oui moi non plus je n'ai pas compris la démonstration.

Posté par
perroquetre : Série numérique 19-10-18 à 23:45

Bonjour à  tous.

Je définis (u_n) par:
\forall n \in \mathbb N        u_{4n}=u_{4n+1}=u_{4n+2}=\frac{-1}{3\sqrt{n+1}}      et     u_{4n+3}=\frac{1}{\sqrt{n+1}}

\sum u_n est convergente et \sum (-1)^n u_n^2 est divergente.

Posté par
coa347re : Série numérique 19-10-18 à 23:47

Bonsoir,

Bravo luzak ! S'il suffisait pour une série alternée que son terme tende vers 0 (et cela induit évidemment qu'elle est "globalement décroissante"), cela se saurait !

Posté par
perroquetre : Série numérique 19-10-18 à 23:48

Je n'avais pas vu que luzak avait posté un contre-exemple ...

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 19-10-18 à 23:51

Bonsoir tout le monde
Je n'ai pas saisi le contre exemple de luzak est ce que quelqu'un pourrait m'aider?

Posté par
coa347re : Série numérique 19-10-18 à 23:55

\cos (n\pi)=(-1)^n. Fais le calcul, coupe la fraction en 2, et on a la somme d'une série divergente, et d'une série alternée convergente.

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 20-10-18 à 00:03

En fait je n'arrive pas à montrer que cos(n/2)/n converge ...

Posté par
coa347re : Série numérique 20-10-18 à 00:24

On peut transformer la série en : \sum (\dfrac {-1}{\sqrt{2n+2}} + \dfrac {1}{\sqrt{2n+4}}),

puis on en tire que le terme est équivalent à \dfrac{-1}{2 n^{3/2}} (sauf erreur), donc la série converge.

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 20-10-18 à 00:27

Comment se fait il que cos(n/2)/n soit équivalent à une suite à signe consentant ?

Posté par
coa347re : Série numérique 20-10-18 à 00:38

\dfrac {-1}{\sqrt{2n+2}} + \dfrac {1}{\sqrt{2n+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} (\dfrac {-1}{\sqrt{n+1}} + \dfrac {1}{\sqrt{n+2}})

=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\dfrac {-\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}} {\sqrt{(n+1)(n+2)}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}} \dfrac {-1} {(\sqrt{n+2}+\sqrt{n+1}) \sqrt{(n+1)(n+2)}}

\sim  \dfrac {-1}{2\sqrt{2}n^{3/2}}

Posté par
ouerdia0903re : Série numérique 20-10-18 à 00:44

Mais pourquoi cos(n/2)/n est égale à ça ?

Posté par
carpediemre : Série numérique 20-10-18 à 07:51

ha ben enfin ...

merci beaucoup de me prouver que j'ai tord ...

Posté par
luzakre : Série numérique 20-10-18 à 09:48

@ ouerdia0903 :
On n'a jamais dit que ce qui est écrit c'est \dfrac{\cos(n\pi/2)}{\sqrt n}  : il faut lire ce qu'on écrit !

Tu n'as jamais vu la possibilité de regrouper deux termes consécutifs d'une série ?
Ce serait le moment d'y réfléchir.

Pour la convergence, si tu as assez de bouteille, tu peux aussi utiliser le théorème d'Abel...

Posté par
Glapion Moderateurre : Série numérique 20-10-18 à 11:29

Bravo à ceux qui ont trouvé des contre exemples


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