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Série numérique

Posté par
Nerf 23-08-23 à 10:36

Bonjour,

Soit la série numérique \sum \frac{(-1)^{\frac{n(n-1)}{2}}}{\sqrt{n(n+1)}}. Appelons un son terme général. Il est question de déterminer sa nature.

Si je montre que les séries de terme général u2p et u2p+1 convergent. C'est possible que je conclus la convergence de la grande série ?

Posté par
Rintarore : Série numérique 23-08-23 à 11:01

Bonjour, ton message est confus.

Tu cherches à déterminer la nature de la suite un ou de la série de terme général un ? Dans le premier cas, la réponse à ta question est oui. Dans le second cas, c'est non, prendre par exemple la série de terme général vn = (-1)n.

Posté par
Rintarore : Série numérique 23-08-23 à 11:02

Au temps pour moi, j'ai mal lu ton message et je me suis embrouillé. Je reprends ça calmement et je rédige une nouvelle réponse.

Posté par
sanantonio312re : Série numérique 23-08-23 à 11:06

Bonjour Nerf,
Je ne suis pas spécialiste du sujet, mais sauf étrangeté que je ne perçois pas du tout à priori, la grande série converge vers la somme des deux résultats "pair" et "impair".

Posté par
sanantonio312re : Série numérique 23-08-23 à 11:08

Oups, désolé Rintaro, je n'ai pas vérifié la présence d'une réponse pendant que je rédigeais la mienne...

Posté par
Rintarore : Série numérique 23-08-23 à 11:14

Bonjour sanantonio312, il n'y a aucun mal

La somme de deux séries convergentes est convergente  donc la réponse est oui comme sanantonio312 l'a fait remarquer à 11:06.

Bonne journée à vous deux

Posté par
Nerfre : Série numérique 23-08-23 à 11:56

Merci pour vos réponses. Désolé pour la confusion créée. Il s'agit de déterminer la nature de la série de terme général un.

Posté par
Nerfre : Série numérique 23-08-23 à 12:06

Voici ce que j'ai fait :
u_{2p}=-\frac{(-1)^p}{\sqrt{2p(2p+1)}} \\ \\ u_{2p+1}=\frac{(-1)^p}{\sqrt{(2p+2)(2p+1)}}
D'après le critère des séries alternées, \sum u_{2p} et \sum u_{2p+1} convergent. Donc \sum u_n converge ???

Posté par
sanantonio312re : Série numérique 23-08-23 à 12:20

Oui

Posté par
Nerfre : Série numérique 23-08-23 à 12:44

D'accord

Posté par
carpediemre : Série numérique 23-08-23 à 13:38

salut

on peut remarquer que deux nombres triangulaires consécutifs n'ont pas même parité :

si 2T_n = n(n + 1) $ et $ 2T_{n + 1} = (n + 1)(n + 2) alors T_{n + 1} - T_n = n + 1

on peut donc utiliser le critère des séries alternées directement à la série initiale ...

Posté par
larrechre : Série numérique 23-08-23 à 13:49

Bonjour,

Pourtant pour n=3, 3*4/2=6 et pour n=4, 4*5/2=10.

La parité dépend du reste modulo 4, du moins  me semble-t-il .

Posté par
carpediemre : Série numérique 23-08-23 à 16:14

merci larrech

effectivement il y a une alternance impair-pair mais non pas un par un mais deux par deux !

mezalor où est l'erreur dans ce que j'ai écrit ?

2T_n = n(n + 1) $ et $ 2T_{n + 1} = (n + 1)(n + 2) donc T_{n + 1} - T_n = n + 1

2T_{n + 1} = (n + 1)(n + 2) $ et $ 2T_{n + 2} = (n + 2)(n + 3) donc T_{n + 2} - T_{n + 1} = n + 2

Posté par
Rintarore : Série numérique 23-08-23 à 17:42

Bonjour carpediem, tu as oublié la division par 2 à la fin !

Posté par
carpediemre : Série numérique 23-08-23 à 21:57

dans les deux cas la différence des doubles donne 2(n + 1) et 2(n + 2)

ce qui donne bien mon résultat en divisant par 2 ensuite, non ?

Posté par
Rintarore : Série numérique 24-08-23 à 09:11

Tout à fait, je n'ai pas arrêté d'écrire des bêtises hier, je te demande pardon

je crois que le problème vient de là


Citation :
on peut remarquer que deux nombres triangulaires consécutifs n'ont pas même parité :

si 2T_n = n(n + 1) $ et $ 2T_{n + 1} = (n + 1)(n + 2) alors T_{n + 1} - T_n = n + 1


la formule est évidemment juste (encore désolé) mais en passant modulo 2, on voit que si n est pair alors le n-ème nombre triangulaire et le (n+1)-ème ont une parité différente, mais si n est impair alors ils ont même parité

Posté par
carpediemre : Série numérique 24-08-23 à 10:49

ne t'inquiètes pas : il fait chaud et le cerveau tourne au ralenti !!

effectivement merci !!


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