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serie numérique-suite

Posté par
tournaud 06-05-19 à 17:58

bonjour de l'aide svp
j'ai essayé un exercice mais je n'y arrive toujours pas.
soit (an)n une suite réelle convergente.
1) Montrer que bn= (1/2n)Cknak ( avec k allant de 0 à n) converge
2) Bn=bk (avec k allant de 0 à n). Exprimer Bn comme combinaison linéaire des Ap=ak (avec k de 0 à p)

Merci d'avance

Posté par
matheuxmatoure : serie numérique-suite 06-05-19 à 18:18

bonsoir

b_n = \dfrac{1}{2} \; n \; \Sum_{k=0}^n {n \choose k} \; a_k

c'est bien ça ? ... disons que c'est ce que tu as écrit ...

Posté par
matheuxmatoure : serie numérique-suite 06-05-19 à 18:29

bref

ah, quand on aura des énoncés correctement écrits...

je pense qu'il s'agit plutôt de

b_n = \dfrac{1}{2^n} \; \Sum_{k=0}^n {n \choose k} \; a_k

petite indication :

\dfrac{1}{2^n}  \; \Sum_{k=0}^n {n \choose k} = 1

alors si la suite (a) tend vers L ... un peu de découpage et de démo epsilontique doivent permettre de démontrer que la suite (b) tend vers L aussi ...

Posté par
tournaudre : serie numérique-suite 06-05-19 à 18:50

oui c'est ce que tu as écrits.
tu peux m'aidez avec le raisonnement epsilontique?  jai maitrise pas les calcules de limites avec les epsilon

Posté par
matheuxmatoure : serie numérique-suite 06-05-19 à 19:00

ah ben là va falloir s'y faire... on est bien en math sup ?

écris la définition du fait que la suite (a) tend vers L

Posté par
tournaudre : serie numérique-suite 06-05-19 à 20:40

Oui maths sup. Au fait cest  un chapitre du debut d'année. Or j'ai commencé les cours avec un mois de retard. donc jai pas eu l'occasion revenir sur ça pour bien maitriser le concepts.

Posté par
Zrunre : serie numérique-suite 06-05-19 à 21:00

Déjà on peut se ramener au cas où L=0 , ce qui simplifie pas mal la démo (pas de u_n-L à trimballer) .
Après , c'est une idée classique (mais pas forcément triviale à rédiger) mais il faut couper la somme en utiliser le fait que pour k grand , a_k est petit et que pour n grand \dfrac{1}{2^n}  est petit par rapport à une somme finie de a_k ...
Après , il faut mettre les mains dans le cambouis pour réussir à faire se genre de démo technique !

Posté par
tournaudre : serie numérique-suite 06-05-19 à 22:16

je te suis pas

Posté par
larrechre : serie numérique-suite 06-05-19 à 22:36

Bonsoir,

Regarde dans ton cours ou sur le net la démonstration du théorème (lemme ?) de Cesaro. Tu devrais pouvoir t'en inspirer ici.

Posté par
tournaudre : serie numérique-suite 06-05-19 à 22:45

d'accord.
Pour la question 2, comment obtenir la combinaison linéaire

Posté par
tournaudre : serie numérique-suite 07-05-19 à 19:13

Heho

Posté par
carpediemre : serie numérique-suite 08-05-19 à 11:45

salut

écrire en extension b_0, b_1, b_2, b_3, ... puis écrire en extension B_0, B_1, B_2, B_3, ...

puis regarder et voir ... et enfin prouver ...

Posté par
tournaudre : serie numérique-suite 09-05-19 à 00:15

Je trouve une double somme j'essaie de faire un télescopage mais ça marche pas .

Posté par
carpediemre : serie numérique-suite 10-05-19 à 16:50

b_n - L = \dfrac 1 {2^n} \Sum_{k=0}^n {n \choose k} a_k - \dfrac 1 {2^n} \sum_0^n {n \choose k} L = \dfrac 1 {2^n} \sum_0^n {n \choose k} (a_k - L) = \dfrac 1 {2^n} \left( \sum_0^p {n \choose k} (a_k - L) + \sum_{p + 1}^n {n \choose k} (a_k - L) \right)

p est fonction de ...

Posté par
tournaudre : serie numérique-suite 13-05-19 à 19:58

J'ai pu faire la convergence . J'ai trouvé un exercice un peu pareil ou on demandait de montrer la convergence . C'était facile . Maintenant c'est la somme Bn j'arrive pas faire

Posté par
luzakre : serie numérique-suite 14-05-19 à 17:56

Suggestion : utiliser a_k=A_k-A_{k-1} avec la convention A_{-1}=0.

Evite de traîner des dénominateurs : tout multiplier par une puissance convenable de 2 rend les calculs plus simples.

Posté par
tournaudre : serie numérique-suite 14-05-19 à 20:01

Enfin . Merci beaucoup .  C'était l'idée


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