Niveau Licence-pas de math

Série numérique, test du quotient

Posté par
Kaldi 14-05-19 à 01:27

Bonjour, je débute tout juste dans les séries et je bloque sur cet exercice :

On considère la suite numérique $\sum{Un}$ dont le terme est :

$Un = \frac{n^a + a^n}{n^{2a}+a^{2n}}$
Avec a un réel positif fixé

On me demande d'utiliser le test du quotient pour montrer que, selon la valeur de a on a :
soit Un ~ $\frac{1}{n^{a}}$ soit Un ~ $\frac{1}{a^{n}}$ (à + $\infty$ )

Le test du quotient me donne $\lim_{n\rightarrow \infty }\left|\frac{Un+1}{Un}\right| = \frac{(n+1)^{a}+a^{n+1} }{(n+1)^{2a} +a^{2(n+1)}} . \frac{n^{2a}+a^{2n}}{n^{a}+a^{n}}$
De cela je n'arrive pas à voir quelles valeurs de a il faut distinguer et quoi que je fasse je n'arrive pas à simplifier l'expression.

Merci d'avance

Posté par re : Série numérique, test du quotient 14-05-19 à 08:23

Bonjour !
Quelles sont les limites de $n\mapsto n^a$ et de $n\mapsto a^n$ .
Laquelle de ces suites est prépondérante sur l'autre ?
Mets en facteur la suite prépondérante, tu auras alors un équivalent donc la limite.

Que veut dire "test du quotient " ? Je crois que tu penses abusivement qu'il s'agit de la condition suffisante de d'Alembert ! Alors que, plus simplement on veut t'inciter à chercher un équivalent de $u_n$ .

Posté par re : Série numérique, test du quotient 14-05-19 à 09:39

U(n )= v(n)/w(n) si v(n) := n^a + aⁿ et w(n) := n^2a + a²ⁿ }

v(n) =  n^a  + exp(nln(a) )  et  w(n) = n^2a + exp(2nln(a))
Tu vois donc qu'il y a 3 cas à regarder
1..a = 1
        où v(v) = n + 1 et w(n) = n²+ 1

2..  0 < a < 1
       où   v(n) = n^a (1 + exp(nln(a)/n^a  )   $\sim$   n^a  et  w(n)   .....

3..  1 < a
....