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Séries

Posté par
Rira 17-07-19 à 13:27

bonjours,
Je bloque pour étudier la convergence de la série: (1!-2!+.....(+ou-)n!)/(n+1)!
des idées, merci d'avance

Posté par
carpediemre : Séries 17-07-19 à 14:17

salut

il me semble que le critère des séries alternées devrait parfaitement convenir ici ...

Posté par
Rirare : Séries 17-07-19 à 14:24

carpediem
si j'écris un=(1/(n+1)! )\sum_{1}^{n}{(-1)^{k+1}k!}
où est la suite de termes positives décroissante qui tends vers 0?

Posté par
jarod128re : Séries 17-07-19 à 14:43

Bonjour,
Une piste mais je n'ai pas essayé : regrouper 2 par 2, avec
(k+1)!-k!=k!k

Posté par
carpediemre : Séries 17-07-19 à 14:48

il serait bien d'apprendre à tout écrire en latex !!!

oui je me suis mélangé les pinceaux entre terme et somme des termes ...

u_n = \dfrac 1 {(n + 1)!} \sum_1^n (-1)^{k + 1} k!

remarquer (et prouver) que \left| \sum_1^n (-1)^{k + 1} k! \right| \le n! tout simplement

Posté par
Rirare : Séries 17-07-19 à 21:34

carpediem
\left|\sum_{1}^{n}{(-1)^{k+1}k!} \right|\leq \sum_{1}^{n}{k!}\leq (n-1)(n-1)!+n!\leq n(n-1)!+n!=2n!
Et quoi encore  un\leq\frac{2n!}{(n+1)!}=\frac{2}{n+1}
Mais la somme de terme géneral =\frac{2}{n+1} diverge donc on peut rien dire de un

Posté par
Rirare : Séries 17-07-19 à 21:35

*la série et non pas la somme

Posté par
lafol Moderateurre : Séries 17-07-19 à 22:01

Bonjour
u_n est une somme partielle, ou le terme général de la série

Posté par
Rirare : Séries 17-07-19 à 22:04

lafol
L'exercice c'est de trouver la nature de la série de terme général un .
Je ne sais pas si j'ai répondu à votre question.

Posté par
lafol Moderateurre : Séries 17-07-19 à 22:13

donc il manque ici ce qui est en rouge ? ai-je bien compris ?

Rira @ 17-07-2019 à 13:27

bonjours,
Je bloque pour étudier la convergence de la série de terme général u_n =: (1!-2!+.....(+ou-)n!)/(n+1)!
des idées, merci d'avance

Posté par
Rirare : Séries 17-07-19 à 22:17

lafol
oui la série de terme général un

Posté par
larrechre : Séries 17-07-19 à 22:39

Bonjour,

Sauf erreur,  u_{n+1}=\dfrac{u_n+(-1)^{n+2}}{n+2}

Posté par
Rirare : Séries 17-07-19 à 22:52

larrech
d'après votre relation u2=-\frac{1}{6}
alors que d'après la relation que j'ai u2=-\frac{2}{3}
Je pense  que c'est ça

Posté par
larrechre : Séries 17-07-19 à 23:29

Je ne comprends pas. Vous voulez dire que je me suis trompé ? Possible que j'ai mal lu, mais pour ce soir, dodo...

Posté par
Rirare : Séries 17-07-19 à 23:35

larrech
Merci pour votre temps

Posté par
larrechre : Séries 18-07-19 à 08:50

Pourtant, si le terme général est bien

u_n = \dfrac 1 {(n + 1)!} \sum_1^n (-1)^{k + 1} k!, alors

u_1=\dfrac{1!}{2!}=\dfrac{1}{2}

u_2=\dfrac{1!-2!}{3!}=-\dfrac{1}{6} =(\dfrac{1}{2}-1)\dfrac{1}{3}

u_3=\dfrac{1!-2!+3!}{4!}=\dfrac{5}{24}=(-\dfrac{1}{6}+1)\dfrac{1}{4}

non ?

Posté par
jandri Correcteurre : Séries 18-07-19 à 09:43

Bonjour,
on peut écrire u_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n+1}+v_n avec v_n=(-1)^n\left(\dfrac1{(n+1)n}-\dfrac1{(n+1)n(n-1)}+...+\dfrac{(-1)^n}{(n+1)!}\right).

On montre que |v_n|\leq\dfrac1{(n+1)n} (comme on fait avec le théorème des séries alternées) et on en déduit que la série de terme général u_n est la somme de deux séries convergentes.

Posté par
larrechre : Séries 18-07-19 à 09:57

Bonjour jandri,

C'est une autre façon d'écrire la relation de récurrence que j'indiquais hier soir à 22h39.

Directement à partir de cette relation, ne peut -on conclure (montrer) que les |u_n| sont bornés par le premier d'entre eux, décroissent régulièrement vers 0, et que les signes sont alternés ?

Posté par
jandri Correcteurre : Séries 18-07-19 à 10:56

Bonjour larrech,

je suis d'accord avec ta relation de récurrence.

La suite (u_n) est bien alternée et elle a pour limite 0 (facile à montrer).

Mais la décroissance de |u_n| n'est vérifiée que pour n\geq3 et elle n'est pas si facile à justifier.

Posté par
larrechre : Séries 18-07-19 à 11:47

OK, merci jandri. . A Rira de jouer maintenant.

Posté par
Rirare : Séries 18-07-19 à 23:14

jandrilarrech
Bonjours,
On a  u_n=\dfrac{(-1)^{n+1}}{n+1}+v_n
et on a \left|v_{n} \right| \leq \frac{1}{(n+1)n} et \frac{1}{(n+1)n}\sim \frac{1}{n^{2}} \\ or \sum \frac{1}{n^{2}} converge \\ donc \sum{\left|v_{n} \right|} converge
de plus on a \sum{}\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} converge d'après le critère spécial des séries alternées.
On a \left|u_{n} \right|=\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}+v_{n} \right|\leq \left|\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \right|+\left|v_{n} \right|
et puisque \sum{v_{n}} et \sum{\frac{(-1)^{n+1}}{n+1}} convergent donc leurs somme aussi et donc \left|u_{n} \right| converge
d'où un  est absolument convergente et donc un converge
Est ce que mon raisonnement est correcte? Si non pourquoi?

Posté par
Rirare : Séries 18-07-19 à 23:16

Ah je pense qu'il y a une erreur \sum{\left|\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} \right|} ne converge pas

Posté par
jandri Correcteurre : Séries 19-07-19 à 09:04

Il ne faut pas faire intervenir |u_n|.

En écrivant que (\sum u_n) est la somme de deux séries convergentes on démontre que la série converge.

On peut montrer que |u_n|\sim\dfrac1{n+1} , ce qui démontre que la série (\sum u_n) n'est pas absolument convergente.

Posté par
Rirare : Séries 19-07-19 à 10:41

jandri
Merci, je vais essayer encore une fois.

Posté par
coa347re : Séries 19-07-19 à 11:44

lafol @ 17-07-2019 à 22:01

Bonjour
u_n est une somme partielle, ou le terme général de la série

Bonjour,
lafol, il me semble que u_n  = (1!-2!+.....(+ou-)n!)/(n+1)! ne peut pas être une somme partielle (étant donné que l'indice n est repris dans chaque terme) ?

Sinon, on peut montrer par récurrence que |u_n| < 1 pour tout n, puis que |u_n| est décroissante vers 0, et que la série est alternée  ?

Posté par
Rirare : Séries 19-07-19 à 13:23

coa347
Je ne vois pas comment la série est alternée, et je pense que (un) n'est pas décroissante ( à partir d'un certain rang peut être )

Posté par
carpediemre : Séries 19-07-19 à 13:56

la suite n \mapsto n! est (strictement) croissante donc la suite (u_n) est alternée

de plus la suite (u_n) converge vers 0 (voir à 21h34)

reste à montrer que la suite (|u_n|) est décroissante :

t_n = |  |u_{n + 1}| - |u_n|  | = \dfrac 1 {(n + 2)!} ((n + 1)! - n! + (n - 1)! + ... ) - \dfrac 1 {(n + 1)!} (n! - (n - 1)! + (n - 2)! - ...)

or n et n + 1 n'ont pas même parité donc   t_n = \dfrac 1 {n + 2} - \dfrac {(n + 3)} {(n + 2)!} s(n)   avec  s(n) = n! - (n - 1)! + ...

reste à montrer que t_n est négatif ... soit encore que (n + 1)! - (n + 3)s(n) \le 0 ...

Posté par
Rirare : Séries 19-07-19 à 14:28

carpediem
Exercice résolu, merci .

Posté par
carpediemre : Séries 19-07-19 à 15:40

et alors ? et le plaisir de chercher ?

Posté par
Rirare : Séries 19-07-19 à 16:32

Ah??!carpediem


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