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séries alternées 1/n²

Posté par basso (invité) 26-12-06 à 12:20

Bonjour à tous sur l'île des mathématiques et bonnes fêtes à tout le monde,

J'aurais besoin d'aide pour le calcul de la somme d'une série alternées, j'ai essayé par comparaison à une intégrale, mais ça ne marche pas. Pourriez vous m'aider ?
Il s'agit de la série de terme général ((-1)^n)/n² ... Elle est convergente parce qu'absolument convergente, et aussi d'après le critère des séries altérnées ... Mais je n'arrive pas à en calculer la somme.

Merci de votre aide et bonne journée à tous

Basso

Posté par
raymond Correcteurséries alternées 1/n² 26-12-06 à 12:27

Bonjour.

Sais-tu que :

3$\textrm\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} ?

Dans ce cas, la convergence absolue de ta série te permet de la séparer en deux parties : les termes de rang pair et le termes de rang impair. Ensuite, arrange toi pour faire apparaître le résultat que je t'ai rappelé.

A plus RR.

Posté par basso (invité)re : séries alternées 1/n² 26-12-06 à 12:42

merci de ton aide, je connais le résultat, et je connais aussi la somme de la série qui découle d'un résultat général sur les séries de Riemann, seulement j'ai de la peine à le démontrer, en fait il faudrait montrer que la somme de la série alternée est

²/12 ... mais j'y arrive pas ...

Posté par
raymond Correcteurre : séries alternées 1/n² 26-12-06 à 12:57

J'appelle S la somme que tu cherches. Ecris que :

3$\textrm S = -\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} + \Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^2}

3$\textrm S = -\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n-1)^2} - \Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^2} + 2\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{(2n)^2}

En regroupant les deux premiers sigmas en un seul et en mettant 1/4 en facteur dans le troisième :

3$\textrm S = -\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2} + \frac{1}{2}\Bigsum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}

3$\textrm S = -\frac{\pi^2}{6} + \frac{1}{2}.\frac{\pi^2}{6} = -\frac{\pi^2}{12}

A plus RR.

Posté par basso (invité)re : séries alternées 1/n² 26-12-06 à 13:01

merci beaucoup !

A plus


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