Inscription / Connexion Nouveau Sujet
Niveau Licence Maths 1e ann
Partager :

Séries de fonctions

Posté par
scoatarin
03-09-16 à 12:36

Bonjour,

J'ai du mal à comprendre la différence entre les notions de convergence uniforme et de convergence normale des séries de fonction dans .

Merci de me donner un exemple simple d'une série de fonction qui converge uniformément dans mais ne converge pas normalement dans ?  

Posté par
WilliamM007
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 13:02

Bonjour.

La série \sum_{n\ge0}\frac{(-x)^n}{n} converge uniformément sur [0,1] mais pas normalement.

En effet, \sum_{n\ge0}\Vert\frac{(-x)^n}{n}\Vert_\infty=\sum_{n\ge0}\frac{1}{n} diverge, donc pas de convergence normale.

Mais par la règle spéciale des séries alternées,
\Vert\sum_{n\ge k}\frac{(-x)^n}{n}\Vert\le\frac{1}{k}\underset{k\to+\infty}{\to}0 d'où la convergence uniforme.

Posté par
scoatarin
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 13:37

Merci bien pour cette réponse même si je ne comprends pas très bien.  

Posté par
luzak
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 14:37

Bonjour.
L'exemple donné plus haut correspond à ta demande : série uniformément convergente sans convergence normale.

Voici un autre exemple, qui ajoute la convergence absolue :
Soit u_n la fonction définie sur \R_+ par :  t\neq n\implies u_n(t)=0,\;u_n(n)=1.
Puisque \lVert u_n\rVert_{\infty}=1 la série n'est pas normalement convergente.

En faisant les sommes partielles \sum\limits_{n<k<n+p}u_k(t) tu verras facilement qu'elles sont majorées par \dfrac1n (elles sont même nulles pour certains t) et par critère de Cauchy de convergence uniforme tu as la convergence absolue et uniforme.

Posté par
scoatarin
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 15:53

Merci bien. Cela m'éclaire un peu plus sur ce sujet

Posté par
Camélia Correcteur
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 17:34

Bonjour

Voici un exemple de nature différente, que je trouve très spectaculaire. Sur \R_+^*

f(x)=0\ si\ x\in[0,n]\cup [n+1,+\infty[\\
 \\ f(x)=n\ si\ x\in ]n,n+1[

Posté par
jsvdb
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 17:39

Bonjour à tous.

On peut donner le cadre général si vous voulez.

On se donne \sum_{n\geq 0}^{}{f_n} une série de fonctions définies sur un intervalle I, à valeur dans .

On dit que la série \sum_{n\geq 0}^{}{f_n} :

converge normalement si la série \sum_{n\geq 0}^{}{||f_n||_{ \infty}}  converge dans

converge uniformément vers une fonction f définie sur l'intervalle I, si la série \sum_{n\geq 0}^{}{||f_n - f||_{ \infty}}  converge dans vers 0.

converge simplement vers une fonction f définie sur l'intervalle I, si, pour tout x de I,  la série \sum_{n\geq 0}^{}{f_n(x) - f(x)}  converge dans vers 0.

On a les implications :
CV Normale CV Uniforme CV simple

Attention : La convergence normale est un mode de convergence des séries de fonctions.

Posté par
jsvdb
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 17:55

L'exemple fourni par Camélia te montre qu'il n'y a pas, en général, d'implication dans l'autre sens :

ledit exemple te fournit une série qui converge simplement vers la fonction définie sur + par
f(x) = n * 1]n, n+1[ (où 1A désigne l'indicatrice de A)
Elle n'y converge ni uniformément et encore moins normalement.

@luzak
j'ai un doute sur ton exemple : il manque pas un truc du genre u_n(n) = \frac{1}{n} ?
Auquel cas, ça marcherait uniformément (et pas normalement, pour le contre-exemple).

Posté par
scoatarin
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 21:07

Un dernier merci à tous pour votre aide.

Bonne soirée à tous aussi

Posté par
luzak
re : Séries de fonctions 03-09-16 à 21:17

Bonsoir jsvdb.
Effectivement mon u_n(n)=1 ne va pas, c'est bien u_n(n)=\dfrac1n. Ce que j'avais implicitement utilisé dans la majoration des tranches de Cauchy.

Posté par
scoatarin
re : Séries de fonctions 20-02-17 à 16:50

Bonjour,

WilliamM007 @ 03-09-2016 à 13:02

Bonjour.

La série \sum_{n\ge0}\frac{(-x)^n}{n} converge uniformément sur [0,1] mais pas normalement.

En effet, \sum_{n\ge0}\Vert\frac{(-x)^n}{n}\Vert_\infty=\sum_{n\ge0}\frac{1}{n} diverge, donc pas de convergence normale.

Mais par la règle spéciale des séries alternées,
\Vert\sum_{n\ge k}\frac{(-x)^n}{n}\Vert\le\frac{1}{k}\underset{k\to+\infty}{\to}0 d'où la convergence uniforme.


Je n'ai pas compris comment on établit l'inégalité pour utiliser la régle spéciale des séries alternées. Pouvez- vous  détailler ce point ?  

Posté par
jsvdb
re : Séries de fonctions 20-02-17 à 17:02

Bonjour scoatarin.
On utilise la règle des séries alternées pour établir l'inégalité et non le contraire.

Posté par
scoatarin
re : Séries de fonctions 20-02-17 à 17:11

Bonjour jsvdb,

Oui mais encore

Merci de détailler un peu plus stp  

Posté par
jsvdb
re : Séries de fonctions 20-02-17 à 17:28

La série de terme générale f_n(x)=(-x)^n/n pour x \in [0,1] tend vers 0 en décroissant donc la série converge simplement vers sa somme.

Comme tu as  |f_n(x)| \leq 1 = |f_n(1)| et que la série converge en 1, alors elle converge uniformément sur [0,1] vers sa somme.

J'ai donc utiliser la règle des séries alternées pour établir la CVU.

Posté par
luzak
re : Séries de fonctions 20-02-17 à 18:48

Bonsoir jsvdb
A ton tour d'oublier le 1/n ! Mais je me demande si la majoration |f_n(x)|\leqslant\dfrac1n suffit pour établir la convergence uniforme...

@scoatarin
En principe, pour une série alternée \sum u_n(x) vérifiant la condition usuelle (n\mapsto|u_n(x)| décroissante , de limite 0), tu as la convergence simple, vers une fonction f.

Par ailleurs (revoir ton cours sur les séries alternées) la différence f(x)-U_n(x),\;U_n  somme partielle d'ordre n, est, en valeur absolue, inférieure à |u_{n+1}(x)|, ce qui explique la majoration proposée par WilliamM007 et donne bien la convergence uniforme.

Plus généralement, en utilisant la même formule, un  résultat bon à connaître :
SI \sum u_n(x) vérifie la condition suffisante des séries alternées ET SI la suite de fonctions u_n converge uniformément sur A (vers la fonction nulle bien entendu), ALORS la convergence de \sum u_n est uniforme sur A.
C'était le cas pour la suite définie par u_n(x)=\dfrac{(-x)^n}n.

Posté par
scoatarin
re : Séries de fonctions 20-02-17 à 19:27

Merci bien pour ces compléments d'explications.

Bonne soirée à tous

Posté par
jsvdb
re : Séries de fonctions 21-02-17 à 10:35

luzak @ 20-02-2017 à 18:48

Bonsoir jsvdb
A ton tour d'oublier le 1/n !

Bonjour luzak.
Effectivement, ce petit 1/n est diabolique
luzak @ 20-02-2017 à 18:48

Mais je me demande si la majoration |f_n(x)|\leqslant\dfrac1n suffit pour établir la convergence uniforme...

Certes non ! Cela signifie juste que le terme général f_n CVU vers 0 et à la ligne du dessus j'avais dit que la série était alternée.



Vous devez être membre accéder à ce service...

Pas encore inscrit ?

1 compte par personne, multi-compte interdit !

Ou identifiez-vous :


Rester sur la page

Inscription gratuite

Fiches en rapport

parmi 1674 fiches de maths

Désolé, votre version d'Internet Explorer est plus que périmée ! Merci de le mettre à jour ou de télécharger Firefox ou Google Chrome pour utiliser le site. Votre ordinateur vous remerciera !