Bonjour,
J'ai du mal à comprendre la différence entre les notions de convergence uniforme et de convergence normale des séries de fonction dans .
Merci de me donner un exemple simple d'une série de fonction qui converge uniformément dans mais ne converge pas normalement dans ?
Bonjour.
La série converge uniformément sur mais pas normalement.
En effet, diverge, donc pas de convergence normale.
Mais par la règle spéciale des séries alternées,
d'où la convergence uniforme.
Bonjour.
L'exemple donné plus haut correspond à ta demande : série uniformément convergente sans convergence normale.
Voici un autre exemple, qui ajoute la convergence absolue :
Soit la fonction définie sur par : .
Puisque la série n'est pas normalement convergente.
En faisant les sommes partielles tu verras facilement qu'elles sont majorées par (elles sont même nulles pour certains ) et par critère de Cauchy de convergence uniforme tu as la convergence absolue et uniforme.
Bonjour à tous.
On peut donner le cadre général si vous voulez.
On se donne une série de fonctions définies sur un intervalle I, à valeur dans .
On dit que la série :
converge normalement si la série converge dans
converge uniformément vers une fonction f définie sur l'intervalle I, si la série converge dans vers 0.
converge simplement vers une fonction f définie sur l'intervalle I, si, pour tout x de I, la série converge dans vers 0.
On a les implications :
CV Normale CV Uniforme CV simple
Attention : La convergence normale est un mode de convergence des séries de fonctions.
L'exemple fourni par Camélia te montre qu'il n'y a pas, en général, d'implication dans l'autre sens :
ledit exemple te fournit une série qui converge simplement vers la fonction définie sur + par
f(x) = n * 1]n, n+1[ (où 1A désigne l'indicatrice de A)
Elle n'y converge ni uniformément et encore moins normalement.
@luzak
j'ai un doute sur ton exemple : il manque pas un truc du genre ?
Auquel cas, ça marcherait uniformément (et pas normalement, pour le contre-exemple).
Bonsoir jsvdb.
Effectivement mon ne va pas, c'est bien . Ce que j'avais implicitement utilisé dans la majoration des tranches de Cauchy.
Bonjour,
Bonjour scoatarin.
On utilise la règle des séries alternées pour établir l'inégalité et non le contraire.
La série de terme générale pour tend vers 0 en décroissant donc la série converge simplement vers sa somme.
Comme tu as et que la série converge en 1, alors elle converge uniformément sur [0,1] vers sa somme.
J'ai donc utiliser la règle des séries alternées pour établir la CVU.
Bonsoir jsvdb
A ton tour d'oublier le ! Mais je me demande si la majoration suffit pour établir la convergence uniforme...
@scoatarin
En principe, pour une série alternée vérifiant la condition usuelle ( décroissante , de limite 0), tu as la convergence simple, vers une fonction .
Par ailleurs (revoir ton cours sur les séries alternées) la différence somme partielle d'ordre , est, en valeur absolue, inférieure à , ce qui explique la majoration proposée par WilliamM007 et donne bien la convergence uniforme.
Plus généralement, en utilisant la même formule, un résultat bon à connaître :
SI vérifie la condition suffisante des séries alternées ET SI la suite de fonctions converge uniformément sur (vers la fonction nulle bien entendu), ALORS la convergence de est uniforme sur .
C'était le cas pour la suite définie par .
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