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Séries entières
Bonjour,
Merci de m'aider à répondre à la question 2 de l'exercice suivant:
Exercice 12 ( L' équation de Legendre). Soit 
. On considère l'équation différentielle :
(1-x2y"(x) - 2xy'(x) + y(x) = 0.
1) Soit 
(x) = une série entière de rayon de convergence R > 0. En le justifiant soigneusement, montrer que
est solution de (L) si et seulement si les coefficients an vérifient des relations de récurrence que l'on précisera.
2. On suppose que 
. Soit (x) = une série entière de rayon de convergence R > 0 qui est solution de (L). En supposant
(0) = 1 et '(0) = 0, déterminer R.
Ce que j'ai fait:
A la question 1, on trouve :
(n+2) (n+1) an+2 - (n(n-1) + 2n - ) an = 0
et
a2 = -(/2) a0.
A la question 2, on trouve:
n (n-1) + 2n - 
0
et
(0) = 1 et '(0) = 0 a0 = 1 et a1 = 0.
Je ne sais pas comment déterminer R.
Bonjour,
Les termes de rang impair sont nuls.
Pose u=x2 et bn=a2n et calcule le rayon de convergence de la série entière de terme général bnun par les méthodes habituelles.
Ça me paraît correct.
Reste à justifier que le rayon de convergence de la série de terme général bnun est le même que celui de la série de départ, cela paraît "évident", mais il faut peut-être une mise en forme.
Le rayon de convergence de la série de terme général bnun est le même que celui de la série de départ car ces deux séries sont égales.
Exact ?
Egales, non. Les termes de même rang ne sont pas égaux.
Je dirais plutôt que 0<x<r 
0<x2<r2
0<u<1, d'où r=1.
Egales, non. Les termes de même rang ne sont pas égaux.
Je dirais plutôt que 0<x<r
0<x2<r2
0<u<1, d'où r=1.Je ne suis pas sûr d'avoir bien compris le type de raisonnement.
C'est un raisonnement par l'absurde, n'est-ce pas ?
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