Niveau LicenceMaths 2e/3e a

Series entieres

Posté par
toureissa 18-11-19 à 09:26

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide sur cette exercice. J'ai le déja fait de ma manière.

Soit $(a_n)$ une suite strictement positive telle que :

$\lim_{n \rightrown +\infty}\frac{a_n^2}{a_{n-1}a_{n+1}}=l\neq 1$ .

Étudier le rayon de convergence de la serie entière $\sum_{n\geq 0}a_nz^n$
suivant l.
Voici comment j'ai fait.

l est finie different de 1 . Supposons que $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ admet une limite finie (a).
Alors ona :

$\lim_{+\infty}\frac{\frac{a_n}{a_{n-1}}}{\frac{a_{n+1}}{a_n}}=\frac{a}{a}=1=l$ (absurde) donc :

$\lim_{+\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=+\infty$ car (a_n) est strictement positive.

On utilise la regle de d'Alembert.
Pour z non nul, ona

$|\frac{a_{n+1}z^{n+1}}{a_nz^n}|=|\frac{a_{n+1}}{a_n}||z|$ qui a pour limite $+\infty$ , d'où R=0

Posté par re : Series entieres 18-11-19 à 09:51

Bonjour !
Deux grosses erreurs :
Tu n'as pas le droit de "supposer" qu'une suite est convergente !

Même une suite positive divergente n'a pas toujours une limite infinie : par exemple $u_{2n}=1,\;u_{2n+1}=2$ .

Posté par re : Series entieres 18-11-19 à 12:26

Si $\alpha<\ell<\beta$ on a $k\geq p\implies \alpha a_{k-1}a_{k+1}\leq a_k^2\leq\beta a_{k-1}a_{k+1}$
D'où par récurrence, $\forall n\in\N^*,\;\alpha^na_{p-1}a_{p+n}\leq a_pa_{p+n-1}\leq\beta^na_{p-1}a_{p+n}$

Tu devrais pouvoir en déduire (mais il y a un peu de travail) : rayon de convergence infini si $\ell<1$ , rayon de convergence nul si $\ell>1$ .

Sauf erreur !

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