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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Séries formelles 1

Posté par
tomsoyer
04-08-20 à 15:47

Bonjour,

Aujourd'hui, les séries formelles au programme !

Ainsi, ce sujet est en lien avec l'anneau A[[X]]=\{\sum_{n\geq0} a_n X^n| (a_n)_{n\in \mathbb{N}} \in A^{\mathbb{N}} \} des séries formelles en X à coefficients dans A, avec A un corps commutatif.

D'après mon cours, tout élément non nul de de  A[[X]] admet une unique écriture uX^k, où u est inversible.

Malheureusement (ce n'est pas tellement malheureux), je ne comprends pas comment démontrer cela.

Auriez vous une petite piste ?

Merci

Posté par
verdurin
re : Séries formelles 1 04-08-20 à 16:01

Bonjour,
on peut commencer par montrer que :
si a_0\neq 0 alors la série est inversible.

Pour ça on utilise la relation formelle \dfrac1{1+s}=1+\sum_{n> 0}(-1)^ns^n

Posté par
tomsoyer
re : Séries formelles 1 04-08-20 à 16:37

Bonjour,

Merci pour votre aide !

Pour tout vous dire,  je crois que montrer votre assertion avec cette série formelle donnée me laisse sans voix.
Quel serait le premier pas de ce premier pas ?

Posté par
tomsoyer
re : Séries formelles 1 04-08-20 à 17:14

Si on a une série inversible f, alors cela on prend u=f et k=0.
Sinon, la valuation de f est supérieure strictement à 0 (avec ce que l'on dit).
Ainsi,  notons f=a_0X^p+a_1X^{p+1}+.... Ainsi, il suffit de prendre u=a_0+a_1X+..... et prenons k=p.

Je ne sais pas pourquoi cela ma échappé. J'en suis désolé.



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