La théorie pour prouver la convergence ou la divergence d'une série est assez volumineuse.
Il faut distinguer les séries dont tous les termes sont de même signe, des séries alternées (alternance d'un terme positif et d'un terme négatif), des séries de termes à signes quelconques.
Il existe alors en fonction de cela des théorèmes et règles pour faire l'étude de la convergence.

Quand à trouver la somme des termes d'une série, ce n'est pas toujours possible.
On peut par exemple essayer de mettre la série (ou de la transformer) sous forme de fonction de séries dont les termes sont en progression arithmétique ou géométrique.
Dans ces conditions, on peut aisément en calculer la somme.

C'est évidemment trop long de donner ici de la théorie, même très restricive, sur tout ce sujet.
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Par contre si tu as des questions précises, pose-les.
Il y aura bien quelqu'un qui y répondra.

Hello !!

Moi j'ai bien étudier les séries cette année et j'avais beaucoup aimé !!

Je repasserai dans la soirée pour te donner les méthodes :

équivalent , encadrement , comparaison avec une intégrale , critère de cauchy , de bertrand , critère d'Alembert ....

Voili voilà

Charly

merci a toi charlynoodles,

moi je n'ai jamais etudier les series et j'ai pourtant 2 - 3 exos a rendre dessus donc ton aide me serai precieuse !

Hello vienin , le mieux serait que tu donnes les énoncés et ce que tu as fait

Voili voilà

Charly

en fait je c pa tro par ou commencer car je comprend pa varimment comment se comporte une serie d'apres son terme general

je dois etudier la nature des series :

a)   1/ ( n*sin²n )

b)   1/n+n²

c)   n! / 2ⁿ

d)   (-1)ⁿ⁺¹ / n   avec >=0

je pense que la derniere doit etre divergente du fait  que son signe alterne

voila si tu pouvais me donner la demarche, et je pourai me lancer

merci

rectification :

b) 1 / (n+n²)

salut !


b) Ta série est à terme positif ! Tu peux donc trouver un équivalent en +00 : 1/n² qui est une série convergente d'après le critère de Riemann donc ta série converge

Je t'expliquerai le reste demain , je suis un peu crevé et j'ai pas envie d'écrire des bétises

charly

p.s : pour la d) prend les cas =0 et =1 . Penses au critère des séries alternées

a)
On sait que la série de terme général = 1/n diverge.
Or la série de terme général 1/ ( n*sin2n ) est une série à termes positifs dont chaque terme est >= au terme correspondant de la série en 1/n
-> La série diverge.
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b)
On sait que la série en 1/n² est convergente.
Or la série de terme général 1/ ( n²+n ) est une série à termes positifs dont chaque terme est < au terme correspondant de la série en 1/n²
-> La série converge. (à condition que n soit dans N*)
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c)
n! à une coissance plus rapide que 2^n -> lim(n->oo) U(n) = oo
-> La série diverge
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d)
Série alternée pour laquelle |U(n+1)| < |U(n)|
De plus lim(n->oo) U(n) = 0
-> La série converge (à condition que n soit dans N*)
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Sauf distraction.  

Rien à dire J-P

Charly

ok merci,

donc je pe dire que 1/n diverge sans demonstration ?!
serai je censser le savoir ou l'avoir dans un formulaire ?!

Et sinon je voi que tu parle de lim(n->oo) (Un)

si la le terme general dune serie converge alors la serie converge ?!(de mm pour la divergence )

En fait le théorème est le suivant :

Si la série de terme général U_n est convergente alors la suite U_n tend vers 0 quand n tend vers +00

Preuve :

s_n = u₀ + u₁ + u₂ + .... + u_n donc

U_n = s_n - s_n-1 et

lim (n->+00) U_n = lim (n->+00)s_n - lim (n->+00)s_n-1=0

Et pour la série 1/n : en fait c'est un théorème

Théorème[Série de Riemann] :

Soit un nombre réel . La série somme de n=1 à +00 1/nconverge si et seulement si >1

Voili voilà

Charly

A la question:

"donc je pe dire que 1/n diverge sans demonstration ?!
serai je censser le savoir ou l'avoir dans un formulaire ?!"

Cela se démontre aisément.

Sur le dessin, la série de terme 1/n est représentée par l'aire en bleu clair (j'ai limité à n = 5 mais cela continue plus loin).

L'aire située entre la courbe en mauve, l'axe des abcisse, la droite x = 1 et la droite x = n (n -> oo) est représentée par

On a évidemment :
La somme des termes de la série >

La somme des termes de la série >

Et donc La somme des termes de la série

Conclusion la série de terme général = 1/n diverge.
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Sauf distraction.  

Bonjour,
je sèche sur une série numérique dont je dois étudier la convergence :
un = (n!)^2 / (2n)!

Si quelqu'un a une idée...

Bonjour Nico ,

la suite est trivialement à terme positif

on peut utiliser le critère de d'Alembert :

=

et donc U_n+1/U_ntend vers 1/4 qui est bien inférieur à 1 donc la série de terme général U_n converge.

Salut

Patch antiboulettes à updater ?

Bonsoir Nico , euh plutot bonjour

Tu as une série à terme général positif :

Nous allons utiliser le critère de Cauchy :

Calculons U_n+1/U_n

[ tex]\frac{U_{n+1}}{U_n}[ /tex]

marche pas :'(

Un+1/Un=

{[(n+1)!]²*[2n!]}/{[2(n+1)]!*[n!]²} =

[(n+1)!/n!]²*[1/[(2n+2)*(2n+1)]=

[n+1]²/{(2n+2)(2n+1)}=

(n+1)/(4n+4)

Quand n->+00 le rapport tend vers 1/4 < 1

Donc la série converge voilà

Charly

Oups désolé Dad97 : j'avais pas vu ta réponse

On trouve pareil !!

T'as raison : charly boulette c'est d'Alembert

(Cauchy c'est racine nième)

[ tex]\times[ /tex]

désolé Tom_Pascal : c'est un essai

Merci les gars.
J'aurais dû trouver ça tout seul...

Y a pas de quoi Nico !!!

j'ai fait une erreur !!

[n+1]²/{(2n+2)(2n+1)}=

(n+1)/(4n+4)

mais plutot

[n+1]²/{(2n+2)(2n+1)}=

(n+1)²/[2(n+1)(2n+1)]=

(n+1)/[2(2n+1)] =

(n+1)/(4n+2)

Voili voilà
Charly

Et encore désolé pour la boulette

Charly :
Il ne faut pas mettre d'espace dans les balises [ tex] et [ /tex], et ça fonctionnera

(nous, on les rajoutes dans les exemples qu'on donne sur le topic d'introduction au latex pour que justement on puisse voir "le source" du latex, et non pas la formule interprétée)

Merci Tom_Pascal !

Nouvel essai

Chuis trop fort mdr !!

Et oui je suis un cas social en info !!

Re bonjour,
Petite question :
Dans mon cours, il est dit que le critère de Cauchy sert surtout quand le terme général de la série contient une racine ou un puissance n-ième.
Pour la puissance, je comprends bien, mais pour la racine n-ième, je ne vois pas quel est l'intérêt, car on obtient une racine "2n-ième", non ?

Bonjour Nico :

Petit exemple :



Notre série est à terme positif ,




Lim (n->+00)

voili voilà

Je débute en Latex

Charly

Oups

<1

Donc Un converge

Charly

Ma question était plutôt : qu'advient-il lorsque

?

Pardon !

Je disais :
Par exemple, j'ai un exo avec .
Il semblerait que le critère de Cauchy puisse m'aider, mais comment ??

(Nico, j'ai supprimé le message mal formé qui posait problème.)

Bonjour :

je pense qu'il faut passer par un développement limité

Charly

Eh bien je vois que la rentrée est déjà très active !

Un sujet sur les série qui déchaine les passions !! J'ai eu mon premier cours sur les série ce matin et je bloque déjà sur un exo...

Je vous le soumet, je dois montrer la convergence et trouver la somme de la série de terme principal :

Un = (n^3)/n   ,  n>=1

L'indication est "en exprimant n^3 en fonction de n(n-1)(n-2), n(n-1) et n".

Pour déterminer la nature et la somme des 4 séries précédente de l'exercice j'ai du faire appel au propriété des séries "télescopiques" (série de la forme d'une différence de deux termes consécutif d'une même suite : Un = Vn - Vn-1.

Voilà, voilà, bon courage et merci d'avance pour votre aide.

Petite question subsidiaire, les premiers exos font référence à la mise en forme d'un nombre rationnelle sous sa forme décimale illimitée (ici 3/7 --> 0.428571428571...) et réciproquement (2.136136136... --> p/q). J'avoue que je ne vois pas du tout comment utiliser les propriétés des séries pour répondre à ce genre de question.

Bonne nuit et à demain !

j'ai un exo trop chaud: que celui qui trouve me l'indique tout de suite!!!
"construire une série divergente dont le terme général tend vers 0 et dont les sommes partielles sont bornées"
c pas de la tarte

Alors déjà fatigués des séries ???

cf titre