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Niveau LicenceMaths 2e/3e a
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Séries trigonométriques - Convergence

Posté par
loicligue
13-05-22 à 15:59

Bonjour !

N'ayant pas encore abordé les séries trigo dans mes cours je ne sais pas trop comment m'y prendre pour étudier de la convergence de la série suivante :

\sum_{n\in\mathds{Z}} \frac{e^{inx}}{n^3}

Peut-on s'intéresser à la convergence normale (parce que le 1/n^3 peut me faire penser à la série de Riemann!!)  qui impliquerait convergence absolue, uniforme et simple comme pour les suites de séries de fonctions ?

Et comment la majoration d'une suite de fonction complexe ((b_n)_{n\in\mathsds{N}} = e^{inx}se déroule-t-elle? Comme pour une suite de fonction réelle ? ?  


Merci pour votre attention et votre aide !


Loic

Posté par
Camélia Correcteur
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 16:07

Bonjour

Il faut savoir que si a et b sont réels, alors |e^{a+ib}|=e^a.
On ne dit pas où est x?
Dans ton cas, la série est absolument convergente pour tout x. Elle est uniformément convergente sur toute partie bornée, mais par sur \C tout entier.

Posté par
loicligue
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 16:20

Merci pour ta réponse !

On ne dit pas dans l'énoncé où est x mais c'est sans doute un réel...

Comment montrer |e^{a+ib}|=e^a ? C'est une histoire de module ou pas du tout ?

Posté par
loicligue
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 16:24

ça doit être plutôt ça : |e^{a+ib}|=e^a e^{ib} = e^a (cos(b) + i sin(b))

Posté par
Camélia Correcteur
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 16:30

Moi j'ai supposé x complexe, mais ça ne change rien.
Ton égalité est incomplète.

|e^{a+ib}|=|e^a|\times |\cos(b)+i\sin(b)|=e^a\times 1

Posté par
loicligue
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 16:36

On pourrait alors conclure pour la convergence normale tout de suite non?

|e^{inx}|=| (cos(nx) + i sin(nx)) |\leq |cos(nx)|+|i| |sin(nx)| = 2 ?

Donc  |\frac{e^{inx}}{n^3}|  \leq \frac{1}{n^3} qui est le terme général de la série de Riemann, donc convergence normale sur \mathds{R} (mais tu parlais de \mathds{C} donc je ne suis pas sûr.

Posté par
loicligue
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 16:41

Ah tu prenais x complexe ! J'ai compris alors !

Par contre pourquoi as-tu |cos(b) + i sin(b)| = 1 ? Propriété des complexes que j'ai oublié ? J'ai pris l'inégalité triangulaire moi... Et je trouve 2 donc bizarre.

ça fait un bail les complexes dsl ^^ on oublie à force...

Posté par
loicligue
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 17:13

Oula, la vache j'ai compris. C'était bien une histoire de module de lycée. e^ib appartient au cercle trigo de centre 0 et de rayon 1. Donc c'est bien égal à 1. J'avais même pas besoin de passer ça sous forme trigo à vrai dire ! La forme expo étant suffisante...

Fallait se remettre dans le bain

Merci !!

Posté par
Camélia Correcteur
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 17:38

Ben voilà.

Rappel: |\cos(b)+i\sin(b)|=\sqrt{\cos^2(b)+\sin^2(b)}

Posté par
Camélia Correcteur
re : Séries trigonométriques - Convergence 13-05-22 à 17:55

Je reviens un instant.
Si on prend x réel, c'est bien vrai que la convergence est normale. Ce n'est pas vrai sur \C. La convergence est absolue en chaque point mais pas normale sur \C tout entier!

Posté par
Razes
re : Séries trigonométriques - Convergence 14-05-22 à 11:56

Bonjour,
Si tu es sur \C. Applique le lemme dAbel ou détermine le rayon de convergence.

Posté par
Camélia Correcteur
re : Séries trigonométriques - Convergence 14-05-22 à 15:26

Bonjour Razes.

J'ai un petit problème avec ta mention du rayon de convergence.
On vient de voir que pour tout x\in \R la série converge .
Mais pour x\in i\R_-^* elle diverge grossièrement. Donc elle ne converge sur aucun disque. Pas étonnant, ce n'est pas une série entière!



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