Niveau autre

Sigma

Posté par
imathss 31-08-18 à 13:52

Bonjour ,

je me suis intéresse à cette somme pour comprendre le changement de son écriture .Je précise que ce n 'est pas du niveau première, c'est pour cette  raison que ce sujet à été posté dans la catégorie autre.

voici le lien:
Suites réelles

première approche

pour tout $n\in \mattbb\N$

$\dfrac { 2n+3-\left( 2n+1 \right)  }{ \left( 2n+3 \right) \left( 2n+1 \right)  } =\dfrac { 1 }{ 2n+1 } -\dfrac { 1 }{ 2n+3 }$

En sommant :

$\sum _{ k=0 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 }  } -\sum _{ k=0 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+3 }  } =\dfrac { 1 }{ 1 } -\dfrac { 1 }{ 3 } +\dfrac { 1 }{ 3 } -\dfrac { 1 }{ 5 } +\dfrac { 1 }{ 5 } -....+\dfrac { 1 }{ 2n+1 } -\dfrac { 1 }{ 2n+3 }$

= $\dfrac { 1 }{ 1 }$ $\cancel-\dfrac { 1 }{ 3 }\cancel +\dfrac { 1 }{ 3 }\cancel -\dfrac { 1 }{ 5 } \cancel+\dfrac { 1 }{ 5 } \....$ - $....\cancel+\dfrac { 1 }{ 2n+1 } -\dfrac { 1 }{ 2n+3 }$

$=1-\dfrac { 1 }{ 2n+3 }$ c 'est ce qui a été trouvé

j'ai testé  un changement d'écriture pour retrouver ce résultat, en posant $t-1=k\$

$\sum _{ k=0 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 }  } -\sum _{ t=1 }^{ n+1 }{ \dfrac { 1 }{ 2t+1 }  } =1-\dfrac { 1 }{ 2n+3 }$ ça se simplifie et on retrouve exactement le même résultat.En réalité , j 'ai même envie de dire que la variable $t$ n'est rien d 'autre que $k$ que sa n'a pas d 'importance  car le résultat  est de toute évidence le même .??(svp)C'ette question n 'est pas anodine ,car cela va me permettre de prouver ce même résultat  de façon très élégante .

merci,

Posté par re : Sigma 31-08-18 à 13:54

k ou t sont ce qu'on appellent des variables muettes
elles sont interchangeables !
habituellement on n'en prend qu'une effectivement dans une même question

Posté par re : Sigma 31-08-18 à 14:16

D'accord , puisque elles sont interchangeables, rien ne m'empêche de revenir à ma variable de départ, enfin j'ai plutôt intérêt à en choisir une, pour pouvoir me servir des opérations classiques .

$\sum _{ k=0 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 } } -\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 } } =1+\left( \sum _{ k=1 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 } } -\sum _{k=1 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 } } \right) -\dfrac { 1 }{ 2\left( n+1 \right) +1 }$

Je trouve ceci plus esthètique en terme de preuve hihhi merci j ai appris un truc aujourdhui!!