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Niveau autre
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Sigma

Posté par
imathss
31-08-18 à 13:52

Bonjour ,

je me suis intéresse à cette somme pour comprendre le changement de son écriture .Je précise que ce n 'est pas du niveau première, c'est pour cette  raison que ce sujet à été posté dans la catégorie autre.  

voici le lien:
Suites réelles


première approche


pour tout n\in \mattbb\N


\dfrac { 2n+3-\left( 2n+1 \right)  }{ \left( 2n+3 \right) \left( 2n+1 \right)  } =\dfrac { 1 }{ 2n+1 } -\dfrac { 1 }{ 2n+3 }

En sommant :

\sum _{ k=0 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 }  } -\sum _{ k=0 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+3 }  } =\dfrac { 1 }{ 1 } -\dfrac { 1 }{ 3 } +\dfrac { 1 }{ 3 } -\dfrac { 1 }{ 5 } +\dfrac { 1 }{ 5 } -....+\dfrac { 1 }{ 2n+1 } -\dfrac { 1 }{ 2n+3 }

=\dfrac { 1 }{ 1 } \cancel-\dfrac { 1 }{ 3 }\cancel +\dfrac { 1 }{ 3 }\cancel -\dfrac { 1 }{ 5 } \cancel+\dfrac { 1 }{ 5 } \.... -....\cancel+\dfrac { 1 }{ 2n+1 } -\dfrac { 1 }{ 2n+3 }


=1-\dfrac { 1 }{ 2n+3 } c 'est ce qui a été trouvé


j'ai testé  un changement d'écriture pour retrouver ce résultat, en posant t-1=k\


\sum _{ k=0 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 }  } -\sum _{ t=1 }^{ n+1 }{ \dfrac { 1 }{ 2t+1 }  } =1-\dfrac { 1 }{ 2n+3 } ça se simplifie et on retrouve exactement le même résultat.En réalité , j 'ai même envie de dire que la variable t n'est rien d 'autre que kque sa n'a pas d 'importance  car le résultat  est de toute évidence le même .??(svp)C'ette question n 'est pas anodine ,car cela va me permettre de prouver ce même résultat  de façon très élégante .

merci,

Posté par
malou Webmaster
re : Sigma 31-08-18 à 13:54

k ou t sont ce qu'on appellent des variables muettes
elles sont interchangeables !
habituellement on n'en prend qu'une effectivement dans une même question

Posté par
imathss
re : Sigma 31-08-18 à 14:16

D'accord , puisque  elles sont interchangeables, rien ne m'empêche de revenir à ma variable de départ, enfin j'ai plutôt intérêt à en choisir une, pour pouvoir me servir des opérations classiques .


\sum _{ k=0 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 }  } -\sum _{ k=1 }^{ n+1 }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 }  } =1+\left( \sum _{ k=1 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 }  } -\sum _{k=1 }^{ n }{ \dfrac { 1 }{ 2k+1 }  }  \right) -\dfrac { 1 }{ 2\left( n+1 \right) +1 }

Je trouve ceci plus esthètique en terme de preuve hihhi merci j ai appris un truc aujourdhui!!

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