Niveau Reprise d'études

Signe d'une suite

Posté par
stra 02-01-18 à 13:33

Bonjour, je bloque sur un élément dans mon exercice.

Comment montrer que :
racinecarrée(n^2+4n+5)-racinecarrée(n^2+2n+2)-1 inférieur ou égale à 0 ?

Merci à ceux et celles qui voudront bien m'aider car ça me bloque pour la suite.

Posté par re : Signe d'une suite 02-01-18 à 13:40

salut

$\sqrt {n^2 + 5n + 5} - \sqrt {n^2 + 2n + 2} - 1 = \sqrt {(n + 2)^2 + 1} - \sqrt {(n + 1)^2 + 1} - 1 \le n + 2 - [(n + 1) + 1] - 1 = ...$

car la fonction (racine) carrée (et sa réciproque) sont croissantes sur R+ ...

Posté par re : Signe d'une suite 02-01-18 à 13:40

Bonjour,

$A=\sqrt{n^2+4n+5}-\sqrt{n^2+2n+2}=\dfrac{2n+3}{\sqrt{n^2+4n+5}+\sqrt{n^2+2n+2}}$ (en multipliant haut et bas par la quantité conjuguée.)

Montre que $\sqrt{n^2+4n+5}\geq n+2$ et $\sqrt{n^2+2n+2}\geq n+1$

donc que la somme des deux est supérieure à $2n+3$