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Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x)

Posté par
LargoWinczlav 29-10-21 à 20:28

Bonsoir,
Je cherche à obtenir le signe de :

f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x),
pour tout x appartenant à [1;+infini[.

J'ai déjà essayé pas mal de choses, dont le tableau de signes et la dérivée, mais ca donne quelque chose d'indéterminé. J'ai essayé de trouver une factorisation sympa, mais en vain.
Auriez-vous des pistes ?
Merci d'avance

Posté par
lakere : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 29-10-21 à 21:14

Bonsoir,

Tu peux aller jusqu'à la dérivée seconde qui s'annule une fois en 1 sur ]0,+\infty[

La limite en +\infty de f'(x) te permettra de conclure avec le TVI.

Posté par
lakere : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 29-10-21 à 21:15

Citation :
La limite en +\infty et en  0 de f'(x) te permettra de conclure avec le TVI.

Posté par
verdurinre : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 29-10-21 à 21:36

Bonsoir lake,
f est définie, d'après l'énoncé, sur [1 ; +[.

Posté par
lakere : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 29-10-21 à 21:48

Bonsoir verdurin,

Très juste !

J'ajoute en complément de 21h14 que f(1)=0.

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 30-10-21 à 08:38

Bonjour,
Le TVI reste-t-il utile ?

Posté par
lakere : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 30-10-21 à 10:41

Bonjour Sylvieg,

Du coup, sur [1,+\infty[, non.
Il este quand même à calcule. f''(x),  f'(1) et \lim\limits_{x\to +\infty}f'(x)

Posté par
Sylvieg Moderateurre : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 30-10-21 à 10:45

D'accord.
Tu es fâché avec les r ?

Posté par
lakere : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 30-10-21 à 10:52

Mince ! La touche r de mon clavier doit être fatiguée !

Posté par
LargoWinczlavre : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 30-10-21 à 14:58

Parfait merci beaucoup pour votre aide ! Je teste de suite !

Posté par
carpediemre : Signe de f(x)=(x-1)ln(1+x) - xln(x) 30-10-21 à 17:31

salut

merci lake : je n'étais pas intervenu car je ne voyais pas comment faire ... et pas eu l'idée d'aller voir la dérivée seconde ... n'ayant pas les résultats précédents ...

j'essayais quelque chose d'algébrique mais rien de concluant ...

jusqu'à maintenant une idée ... mais qui finalement revient au même ...

je le poste cependant pour montrer une autre vision de ce pb ...


f(x) = (x - 1) \ln (x + 1) - x \ln x

posons h(x) = \dfrac {\ln x} {x - 1}

g(x) = \dfrac {f(x)} {x(x - 1)} = \dfrac {\ln (x + 1)} x - \dfrac {\ln x} {x - 1} = h(x + 1) - h(x)   \red (*)

la fonction h est continue sur l'intervalle ]0, + oo[ en la prolongeant par continuité en posant h(1) = 1 (reconnaitre l'inverse d'un taux de variation ...) et elle devient alors définie et même dérivable (me semble-t-il) sur ]0, +oo[ (et positive)

h'(x) = \dfrac {1 - \dfrac 1 x - \ln x} {(x - 1)^2} = \dfrac {x - 1 - x \ln x} {x(x - 1)^2}

bien évidemment sur ]1, +oo[ g a même signe que f et sur ] 0,+oo[ h' a même signe que son numérateur

on dérive à nouveau bla bla bla et on montre que h' est négative sur ]0, +oo[ donc h est décroissante donc g est négative donc f est négative sur [1, +oo[ et négative sur ]0, 1]


ouais bon ça revient au même ...

mais c'est intéressant tout de même me semble-t-il de voir (*) ...


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