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Signe de l'intégrale
Bonjour,
ÉNONCÉ
Soit f la fonction définie par :
, si x > 0 et f(0) = 0
1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
J'ai pu faire la continuité mais je n'y arrive pas pour la dérivabilité
2.Etudier f
PARTIE B
On se propose d'étudier la fonction F définie par : F(x) =
1-aJustifier que F est définie et dérivable sur [0 ; + 
[
(Cette question nous montre que f est dérivable sur son ensemble de définition)
f est continue et dérivable sur [0 ; + [ alors F est définie et dérivable sur [0 ; + [
b-Etudier le sens de variation de F.
F'(x) = f(x), le signe de F'(x) est celui de f(x)
On a :
x 
]0,1], lnx 
0 
-lnx 
0
x-lnx 0
x/(x-lnx) 0
f(x) 0
F'(x) 0
donc F est continue et décroissante sur ]0,1].
x [ 1 ; +[ , lnx 0 -lnx 0
x-lnx 0
x / (x-lnx) 0
f(x) 0
F'(x) 0
donc F est continue et croissante sur [1 ; +[
2.Déterminer le signe de F et donner une interprétation graphique de ce résultat
Je n'arrive pas à faire
Bonjour
Partie A)
La fonction f est dérivable sur ]0,+infini[, parce que c'est une division de fonctions dérivables, mais en 0, il faut revenir à la définition du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement
c'est-à-dire évaluer la limite
quand h tend vers 0 par valeurs positives bien sûr, vu que la fonction n'est définie qu'à droite de 0
Partie B)
1)a) as-tu entendu parler du théorème fondamental de l'analyse ? il justifie le résultat que tu sembles avoir "sorti" de nulle part
1)b) c'est le sens de variation de F qui est le signe de f,
Tu t'es trompé sur le signe de f, elle est tout le temps positive, trace-la pour t'en convaincre
1)b) c'est le sens de variation de F qui est le signe de f,
Au temps pour moi, tu as dit le signe de F' est le signe de f, donc c'est bon
mais le signe de f est toujours faux
La fonction f est dérivable sur ]0,+infini[, parce que c'est une division de fonctions dérivables, mais en 0, il faut revenir à la définition du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement
c'est-à-dire évaluer la limite
quand h tend vers 0 par valeurs positives bien sûr, vu que la fonction n'est définie qu'à droite de 0
Ok merci beaucoup !
Je trouve 0 pour le taux de variation donc maintenant je peux conclure que la fonction est dérivable sur [0 ; +
[
Partie B)
1)a) as-tu entendu parler du théorème fondamental de l'analyse ?
J'en ai jamais entendu parler
En classe le prof a dit que l'ensemble de continuité de f est l'ensemble de définition de F avec f une fonction et F sa primitive
Tu t'es trompé sur le signe de f, elle est tout le temps positive
Oui je viens de m'en rendre compte à regarder le tableau de variation donc je reprends
x [0 ; + [ f(x) 0 
F'(x) 0 d'ou F est continue et croissante sur [0 ; + [Ce théorème dit en gros que si F est définie comme l'intégrale de f(t)dt comme dans ton exercice, alors F est derivable et sa dérivée est f
Je ne vois pas comment justifier autrement
F(x) est une intégrale de la fonction f qui est toujours positive, donc tu peux déduire le signe de F(x) facilement
Oui, mais pas pour la même raison. Tu confonds avec le lien entre signe de la dérivée et sens de variation
ici, est positive, donc si on a
et que
définie sur
, alors
Essaie avec F(2) ou F(0.5)
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