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Signe de l'intégrale

Posté par
pfff
11-06-20 à 04:22

Bonjour,

ÉNONCÉ

Soit f la fonction définie par :
f(x) = \frac{x}{x-lnx}, si x > 0 et f(0) = 0

1. Etudier la continuité et la dérivabilité de f sur son ensemble de définition.
J'ai pu faire la continuité mais je n'y arrive pas pour la dérivabilité

2.Etudier f

\begin{array} {|c|cccccc|} x & 0 & & e & & +\infty & \\ {signe} & & + & 0 & - & & \\ {variation} & & \nearrow & & \searrow & & \end{array}


PARTIE B
On se propose d'étudier la fonction F définie par : F(x) = \int_{1}^{x}{f(t)}dt

1-aJustifier que F est définie et dérivable sur [0 ; + [
(Cette question nous montre que f est dérivable sur son ensemble de définition)
f est continue et dérivable sur [0 ; + [ alors F est définie et dérivable sur [0 ; + [

b-Etudier le sens de variation de F.
F'(x) = f(x), le signe de F'(x) est celui de f(x)

On a :
x ]0,1], lnx 0   -lnx 0
                                             x-lnx 0  
                                             x/(x-lnx) 0
                                             f(x) 0
                                             F'(x) 0
donc F est continue et décroissante sur ]0,1].


x [ 1 ; +[ , lnx 0 -lnx 0
                                                   x-lnx 0
                                                   x / (x-lnx) 0
                                                   f(x) 0
                                                   F'(x) 0
donc F est continue et croissante sur [1 ; +[

2.Déterminer le signe de F et donner une interprétation graphique de ce résultat
Je n'arrive pas à faire

Posté par
Zormuche
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 04:41

Bonjour

Partie A)

La fonction f est dérivable sur ]0,+infini[, parce que c'est une division de fonctions dérivables, mais en 0, il faut revenir à la définition du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement
c'est-à-dire évaluer la limite \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}
quand h tend vers 0 par valeurs positives bien sûr, vu que la fonction n'est définie qu'à droite de 0

Partie B)
1)a) as-tu entendu parler du théorème fondamental de l'analyse ? il justifie le résultat que tu sembles avoir "sorti" de nulle part

1)b) c'est le sens de variation de F qui est le signe de f,
Tu t'es trompé sur le signe de f, elle est tout le temps positive, trace-la pour t'en convaincre

Posté par
Zormuche
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 04:41

Citation :
1)b) c'est le sens de variation de F qui est le signe de f,


Au temps pour moi, tu as dit le signe de F' est le signe de f, donc c'est bon
mais le signe de f est toujours faux

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 05:01

Citation :
La fonction f est dérivable sur ]0,+infini[, parce que c'est une division de fonctions dérivables, mais en 0, il faut revenir à la définition du nombre dérivé en tant que limite du taux d'accroissement
c'est-à-dire évaluer la limite \lim_{h\to 0}\dfrac{f(0+h)-f(0)}{h}
quand h tend vers 0 par valeurs positives bien sûr, vu que la fonction n'est définie qu'à droite de 0

Ok merci beaucoup !
Je trouve 0 pour le taux de variation donc maintenant je peux conclure que la fonction est dérivable sur [0 ; +[

Citation :
Partie B)
1)a) as-tu entendu parler du théorème fondamental de l'analyse ?

J'en ai jamais entendu parler
En classe le prof a dit que l'ensemble de continuité de f est l'ensemble de définition de F avec f une fonction et F sa primitive

Citation :
Tu t'es trompé sur le signe de f, elle est tout le temps positive

Oui je viens de m'en rendre compte à regarder le tableau de variation donc je reprends
x [0 ; + [ f(x) 0 F'(x) 0 d'ou F est continue et croissante sur [0 ; + [

Posté par
Zormuche
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 05:50

Ce théorème dit en gros que si F est définie comme l'intégrale de f(t)dt comme dans ton exercice, alors F est derivable et sa dérivée est f
Je ne vois pas comment justifier autrement

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 07:07

D'accord

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 07:08

Je fais comment pour la dernière question ?

Posté par
Zormuche
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 17:37

F(x) est une intégrale de la fonction f qui est toujours positive, donc tu peux déduire le signe de F(x) facilement

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 21:41

le signe de F(x) dépend aussi de f comme F'(x) ?

Posté par
Zormuche
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 22:00

Oui, mais pas pour la même raison. Tu confonds avec le lien entre signe de la dérivée et sens de variation

ici, f est positive, donc si on a  a<b et que  f définie sur [a,b], alors \int_a^b f(x)\mathrm{d}x\ge 0

Essaie avec F(2) ou F(0.5)

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 22:17

F(2) = 1,33 et F(0,5) = -0,35

Ah je vois donc sur [0,1], F(x) 0 et
sur [ 1 ; + [

Posté par
Zormuche
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 22:22

Oui, mais il faut détailler

Si x<=1, F(x)=...

si x>1, F(x)=...

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 22:29

Je vois

si x 1, F(x) = \int_{x}^{1}{f(t)}dt = -\int_{1}^{x}{f(t)}dt 0


si x 1 F(x) = \int_{1}^{x}{f(t)}dt 0

Posté par
alb12
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 23:03

salut,
F est croissante et s'annule en 1 donc ...

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 23:21

Bonsoir alb12
je ne vois pas

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 11-06-20 à 23:28

ce que j'ai fait n'est pas correct ??

Posté par
alb12
re : Signe de l'intégrale 12-06-20 à 09:05

si mais c'est inutile
F est croissante et F(1)=0, on en deduit le signe de F

Posté par
pfff
re : Signe de l'intégrale 13-06-20 à 00:33

Ok d'accord merci c'est vrai que c'est plus rapide

Posté par
alb12
re : Signe de l'intégrale 13-06-20 à 10:25

petit resume de la situation



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