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Similitude

Posté par
Maki001 13-07-25 à 12:29

Bonjour chers camarades !
Veuillez  m'aider à  résoudre  ce problème  sur les similitudes.
ABC étant un triangle quelconque,  on désigne  par S la similitude directe de centre A qui transforme  B en C. Soit M un point du cercle circonscrit à  ABC et N son image par S. Démontrer que les points M, C et N sont alignés.

Posté par
Maki001re : Similitude 13-07-25 à 12:50

Voilà  comment  j'ai procédé :
(S) : Z'=\exp i\theta(Z-a)+a
a, b,c,m,et n sont les affixes  des points A, B,C, M et N.
M, C et N sont alignés  si :
(c-m)/(n-m) \varepsilon R
S(B)=C \Rightarrow
kei\theta
(b-a)+a=c
S(M)=N  \Rightarrow kei\theta
(m-a)+a=n
(Ke[sup]i\theta(b-a)+a-m/(kei\theta(m-a)+a-m) =

Posté par
Maki001re : Similitude 13-07-25 à 12:51

C'est  ici que je suis bloqué.

Posté par
carpediemre : Similitude 13-07-25 à 14:21

salut

en notant z* le conjugué de z dire que (c - m)/(n - m) est réel équivaut à dire que (c - m)(n* - m*) est réel

puisque (n - m)(n* - m*) est évidemment réel (produit d'un complexe par son conjugué)

je t'invite dont à calculer (c - m)(n* - m*) en développant, simplifiant, refactorisant convenablement ...

Posté par
Maki001re : Similitude 13-07-25 à 18:35

Merci! Je vais essayer.

Posté par
Kohlere : Similitude 13-07-25 à 18:35

Bonjour,
Quelques remarques :

Citation :
(S) : Z'=\exp i\theta(Z-a)+a

qui ne tient pas compte du rapport k de la similitude à priori différent de 1. Il semble qu'il apparaît plus tard.
De toute manière, il faudra bien faire le lien entre le rapport, l'angle de cette similitude directe et les affixes a,b,c à un moment ou à un autre.

Mieux vaut écrire S\,:\, z'= \dfrac{a-c}{a-b}\,z+\dfrac{a(c-b)}{a-b} qui vérifie bien S(A)=A et S(B)=C
Pour simplifier les calculs, on peut considérer, sans nuire à la généralité du problème, que A,B,C appartiennent au cercle unité.
Mais, j'y reviendrai plus tard, se lancer dans des calculs ici est très discutable : la géométrie permet de résoudre cet exercice en deux petites lignes !

Posté par
Maki001re : Similitude 14-07-25 à 01:04

Merci  beaucoup !

Posté par
Maki001re : Similitude 14-07-25 à 01:21

Bonsoir, je n'arrive  pas à  progresser.

Posté par
Maki001re : Similitude 14-07-25 à 01:26

Maki001 @ 13-07-2025 à 12:50

Voilà  comment  j'ai procédé :
(S) : Z'=k\exp i\theta(Z-a)+a
a, b,c,m,et n sont les affixes  des points A, B,C, M et N.
M, C et N sont alignés  si :
(c-m)/(n-m) \varepsilon R
S(B)=C \Rightarrow
kei\theta
(b-a)+a=c
S(M)=N  \Rightarrow kei\theta
(m-a)+a=n
(Ke[sup]i\theta(b-a)+a-m/(kei\theta(m-a)+a-m) =

Posté par
carpediemre : Similitude 14-07-25 à 07:24

effectivement ta formule de la similitude avec k et reste formelle : tu dois tout exprimer en fonction de a, b et c comme l'a fait Kohle en remplaçant z par b puis par m :

c = \dfrac{a-c}{a-b} b+\dfrac{a(c-b)}{a-b}
et
n = \dfrac{a-c}{a-b}m+\dfrac{a(c-b)}{a-b}

et tu soustrais membre à membre pour calculer n - c

ensuite utiliser le fait que m - b = m - c + c - b et ne pas oublier que m appartient au cercle circonscrit au triangle ABC

Posté par
Maki001re : Similitude 14-07-25 à 16:43

Bonjour ! Est ce que l'idée  c'est  toujours  de faire (n-m)/(c-m) ?  J'ai calculer  n-c et m-b mais je ne sais pas quoi faire ensuite.

Posté par
carpediemre : Similitude 14-07-25 à 16:48

tu peux le faire aussi avec n - c et m - c ...

Posté par
Maki001re : Similitude 14-07-25 à 18:31

D'accord.

Posté par
Maki001re : Similitude 14-07-25 à 18:49

En faisant  n-c/m-c  j'ai  trouvé :
(m(a-c)+b(c-a))/ ( m(a-b)+c(b-a) )

Posté par
carpediemre : Similitude 14-07-25 à 19:27

c s'exprime en fonction de a et b avec c = \dfrac{a-c}{a-b} b+\dfrac{a(c-b)}{a-b}

Posté par
Maki001re : Similitude 14-07-25 à 19:53

Exactement,  c'est  ça que j'ai  utilisé  pour calculer  n-c.

Posté par
Kohlere : Similitude 14-07-25 à 23:33

Bonsoir,

Citation :
En faisant  n-c/m-c  j'ai  trouvé :
(m(a-c)+b(c-a))/ ( m(a-b)+c(b-a) )

Oui ou encore :

Z=\dfrac{n-c}{m-c}=\dfrac{a-c}{a-b}\,\dfrac{m-b}{m-c}

qu'on peut noter Z=(c,b,a,m) où cette dernière notation représente un birapport.

Birapport qui est réel puisque A,B,C,M sont cocycliques.

Si tu ne connais pas ces notions, il faut les prouver en passant par les arguments :

Arg(Z)= (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})- (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC})=0\;\;[2\pi]

C'est le théorème de l'angle inscrit !

Posté par
Kohlere : Similitude 14-07-25 à 23:37

Une erreur :

Arg(Z)= (\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})- (\overrightarrow{MB},\overrightarrow{MC})=0\;\;[{\red \pi}]

Le théorème de l'angle inscrit avec 4 points A,B,C,M \\ cocycliques.

Posté par
Maki001re : Similitude 15-07-25 à 13:16

Est ce que montrer  que A, B, M et C sont cocycliques  suffit pour conclure que M, C et N sont alignés ?

Posté par
Maki001re : Similitude 15-07-25 à 14:12

S  Transforme le triangle ABM en ACN, on a :
L'angle(BAM)= l'angle(CAN) , les angles  orientés BAM et CAN sont égaux.
L'angle  BCM est egal L'angle BAM  étant deux angles inscrits  qui interceptent  le même arc.

L'angle BAM= L'angle CAN
L'angle BCM=L'angle CAN cela  implique que L'angle BCM=L'angle CAN cela implique que les vecteurs CM et CN sont colinéaires.  Alors M, C et N sont alignés.

Posté par
Maki001re : Similitude 15-07-25 à 14:13

S  Transforme le triangle ABM en ACN, on a :
L'angle(BAM)= l'angle(CAN) , les angles  orientés BAM et CAN sont égaux.
L'angle  BCM est egal L'angle BAM  étant deux angles inscrits  qui interceptent  le même arc.

L'angle BAM= L'angle CAN
L'angle BCM=L'angle CAN cela  implique que L'angle BCM=L'angle CAN cela implique que les vecteurs CM et CN sont colinéaires.  Alors M, C et N sont alignés.

Similitude

Posté par
Kohlere : Similitude 15-07-25 à 15:40

Bonjour,
Il y a de l'idée mais je ne comprends pas ceci :

Citation :
... L'angle BCM=L'angle CAN cela implique que les vecteurs CM et CN sont colinéaires.  


Et en tout état de cause il  faut absolument définir les angles dont on parle : orientés de vecteurs ? orientés de droites ? autres ?

Je te propose ceci :

La similitude directe S envoie le cercle ABC de centre O sur le cercle de centre O'=S(O) passant par A et C
N=S(M) appartient à ce second cercle.

Similitude

Pa r conservation des angles orientés par une similitude directe, on a :

(\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OM})=(\overrightarrow{O'A},\overrightarrow{O'N})\,\,[2\pi]

On en déduit immédiatement :

(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CM})=(\overrightarrow{CA},\overrightarrow{CN})\,\,[\pi] (Théorème de l'angle inscrit dans les deux cercles).

M,C,N sont alignés.

Posté par
Kohlere : Similitude 15-07-25 à 15:52

Au fait : pour ta construction de O' intersection de la médiatrice de [AC] et de la perpendiculaire en C à (BC)

Posté par
Maki001re : Similitude 15-07-25 à 20:08

Merci beaucoup !

Posté par
Maki001re : Similitude 15-07-25 à 20:11

carpediem @ 14-07-2025 à 19:27

c s'exprime en fonction de a et b avec c = \dfrac{a-c}{a-b} b+\dfrac{a(c-b)}{a-b}
J'aimerais si possible  que vous m'aidez à  faire la résolution  suivant cette méthode  également.

Posté par
carpediemre : Similitude 16-07-25 à 11:33

théoriquement par le calcul on doit y arriver mais ça me semble long (ou du moins technique) et calculatoire

en particulier avec c = \dfrac{a-c}{a-b} b+\dfrac{a(c-b)}{a-b}
et  n = \dfrac{a-c}{a-b}m+\dfrac{a(c-b)}{a-b} le pb c'est de traduire le fait que M appartienne au cercle circonscrit au triangle ABC

l'interprétation géométrique de Kohle et ce que tu as fait est beaucoup plus efficace

Posté par
Maki001re : Similitude 17-07-25 à 07:24

Merci beaucoup !

Posté par
Kohlere : Similitude 18-07-25 à 11:35

Bonjour,
Au cas où tu repasses par ici :
On peut poursuivre les calculs purs et durs sans faire intervenir la géométrie en se ramenant par similitude au cas où a,b,c,m \\ sont de modules 1 sans perte de généralité.
Autrement dit, A,B,C,M appartiennent au cercle unité en sorte que \bar{a}=\dfrac{1}{a} et permutation circulaire :

Z=\dfrac{n-c}{m-c}=\dfrac{(a-c)(m-b)}{(a-b)(m-c)}

Z-\overline{Z}=\dfrac{n-c}{m-c}=\dfrac{(a-c)(m-b)}{(a-b)(m-c)}-\dfrac{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{b}\right)}{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\left(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{c}\right)}=\dfrac{(a-c)(m-b)}{((a-b)(m-c)}-\dfrac{(c-a)(b-m)}{(b-a)(c-m)}=0

Z=\overline{Z} donc Z est réel et M,C,N sont alignés.

Posté par
Kohlere : Similitude 18-07-25 à 11:38

Zut !
Z-\overline{Z}=\dfrac{(a-c)(m-b)}{(a-b)(m-c)}-\dfrac{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{c}\right)\left(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{b}\right)}{\left(\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}\right)\left(\dfrac{1}{m}-\dfrac{1}{c}\right)}=\dfrac{(a-c)(m-b)}{((a-b)(m-c)}-\dfrac{(c-a)(b-m)}{(b-a)(c-m)}=0

Posté par
Maki001re : Similitude 19-07-25 à 14:09

Ah merci vraiment !


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